(2,0 pontos) Encontre o conjunto solução para a inequação do segundo grau
2 x^{2}+13 x-7<0
no conjunto dos números reais.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos resolver a inequação de segundo grau
2x^{2} + 13x - 7 < 0
no conjunto \mathbb{R}. O conteúdo é inequação quadrática; para resolver, vamos achar as raízes da equação associada e depois estudar o sinal do trinômio.

Passo 2

Calcular o discriminante da equação associada 2x^{2}+13x-7=0.
\Delta = b^{2} - 4ac = 13^{2} - 4\cdot 2 \cdot(-7) = 169 + 56 = 225.

Passo 3

Obter as raízes usando a fórmula
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-13 \pm 15}{2\cdot 2}.
Isso dá
x_{1} = \frac{-13 - 15}{4} = -7, \quad x_{2} = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Como o coeficiente a=2 é positivo, a parábola y=2x^{2}+13x-7 abre para cima. Isso significa que 2x^{2}+13x-7 é negativo exatamente entre as raízes. Portanto, a solução da inequação é
-7 < x < \tfrac{1}{2},
ou seja, o intervalo \bigl(-7,\tfrac{1}{2}\bigr).

Resposta

\,(-7,\tfrac{1}{2})

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