(2.5 pontos) Determine os valores de máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
f(x, y)=2 x^3-3 x y+2 y^3+10

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar os pontos de máximo local, mínimo local e ponto de sela de
f(x,y)=2x^3-3xy+2y^3+10
Conteúdo envolvido: cálculo de pontos críticos de funções de duas variáveis. Vamos precisar de duas coisas principais:
  1. derivadas parciais para achar os pontos críticos;
  2. matriz Hessiana (segunda derivada) para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro, a gente calcula as derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x,y)=partial fpartial x=6x^2-3y, fy(x,y)=partial fpartial y=-3x+6y^2

Passo 3

Agora, encontramos os críticos resolvendo
fx(x,y)=0;Rightarrow;6x^2-3y=0;Rightarrow;y=2x^2, fy(x,y)=0;Rightarrow;-3x+6y^2=0;Rightarrow;x=2y^2
Substituindo y=2x^2 em x=2y^2:
x=2l(2x^2r)^2=8x^4 ;Longrightarrow; 8x^4-x=0 ;Longrightarrow; x,(8x^3-1)=0
Daí vêm x=0 ou 8x^3=1Rightarrow x=tfrac12.
Para x=0, y=2cdot0^2=0.
Para x=tfrac12, y=2l(tfrac12r)^2=2cdottfrac14=tfrac12.
Logo os críticos são (0,0) e l(tfrac12,tfrac12r).

Passo 4

Para classificar, usamos a matriz Hessiana:
fxx=12x, fyy=12y, fxy=fyx=-3
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=fxxfyy-l(fxyr)^2 = (12x)(12y)-(-3)^2=144xy-9

Passo 5

Avalia nos pontos:
  1. Em (0,0):
fxx=0,;fyy=0,;D(0,0)=144cdot0cdot0-9=-9<0 ;Longrightarrow; ponto de sela
  1. Em l(tfrac12,tfrac12r):
fxx=12cdottfrac12=6,; fyy=12cdottfrac12=6,; Dl(tfrac12,tfrac12r)=144cdottfrac12cdottfrac12-9=36-9=27>0
Como D>0 e fxx=6>0, é mínimo local. Não apareceu nenhum caso com fxx<0, então não há máximo local.

Resposta

Máximo local: nenhum.
Mínimo local: l(tfrac12,tfrac12r).
Ponto de sela: (0,0).

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