(2.5 pontos) Determine os valores de máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar os pontos de máximo local, mínimo local e ponto de sela de
Conteúdo envolvido: cálculo de pontos críticos de funções de duas variáveis. Vamos precisar de duas coisas principais:
- derivadas parciais para achar os pontos críticos;
- matriz Hessiana (segunda derivada) para classificar cada ponto.
Passo 2
Primeiro, a gente calcula as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Agora, encontramos os críticos resolvendo
Substituindo
em
:
Daí vêm
ou
.
Para ,
.
Para ,
.
Logo os críticos são e
.
Para
Para
Logo os críticos são
Passo 4
Para classificar, usamos a matriz Hessiana:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Avalia nos pontos:
- Em
:
- Em
:
Como
e
, é mínimo local. Não apareceu nenhum caso com
, então não há máximo local.
Resposta
Máximo local: nenhum.
Mínimo local: .
Ponto de sela: .
Mínimo local:
Ponto de sela: