Verifique a aproximação linear em (0,0) :
(a) 2 x+34 y+1 approx 3+2 x-12 y
(b) raizy+cos ^2 x approx 1+12 y .

Passo 1

O enunciado nos pede a aproximação linear de funções de duas variáveis em (0,0). Para isso usamos a fórmula
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b),
onde (a,b)=(0,0).

Passo 2

Para a função
f(x,y)=2x+34y+1
avaliamos
f(0,0)=2cdot0+34cdot0+1=3
Em seguida calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y)=24y+1, fx(0,0)=2,
fy(x,y)=-(2x+3)cdot4(4y+1)^2, fy(0,0)=-12
Logo a aproximação linear em (0,0) é
L(x,y)=3+2x-12y,
que coincide com a aproximação dada em (a).

Passo 3

Para a função
g(x,y)=raiz,y+cos^2x,
avaliamos
g(0,0)=raiz0+cos^2 0=raiz1=1
As derivadas parciais são
gx(x,y)=12raizy+cos^2x;(-2cos xsin x), gx(0,0)=0,
gy(x,y)=12raizy+cos^2x, gy(0,0)=tfrac12
Portanto a aproximação linear em (0,0) é
L(x,y)=1+0cdot x+tfrac12,y=1+tfrac12y,
que coincide com a aproximação dada em (b).

Resposta

Ambas as aproximações lineares apresentadas estão corretas.

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