( 6.5 pontos) Resolver a equação t^2 d yd t=2 t y-y^3, e diga se é linear ou nāo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A equação que precisamos resolver é t^2 d yd t = 2 t y - y^3 . Nosso objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação. Além disso, temos que dizer se essa equação é linear ou não. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais, especificamente as equações de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar d yd t sozinho. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por t^2 :
d yd t = 2 t y - y^3t^2 = 2yt - y^3t^2
Agora, a equação está na forma:
d yd t = 2t y - 1t^2 y^3

Passo 3

Vamos verificar se a equação é linear ou não. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma d yd t + P(t) y = Q(t) . No nosso caso, temos um termo y^3 , que não é de primeiro grau em y . Como temos y^3 , a equação não é linear; ela é uma equação de Bernoulli.

Passo 4

Agora que sabemos que é uma equação de Bernoulli, podemos resolver usando uma substituição adequada. A forma geral de uma equação de Bernoulli é:
d yd t + P(t) y = Q(t) y^n
No nosso caso, P(t) = -2t , Q(t) = 1t^2 e n = 3 . Para resolver, vamos fazer a substituição u = y^1 - n = y^-2 .

Passo 5

Com a substituição u = y^-2 , precisamos encontrar d ud t . Usando a regra da cadeia:
d ud t = -2 y^-3 d yd t
Vamos substituir d yd t da equação original nessa expressão.

Passo 6

Substituindo na expressão de d ud t :
d ud t = -2 y^-3 ( 2t y - 1t^2 y^3 ) = -2 ( 2t y^-2 - 1t^2 )
Lembrando que u = y^-2 , a equação fica:
d ud t = -4t u + 2t^2
Essa é uma equação linear em termos de u .

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação linear para u :
d ud t + 4t u = 2t^2
Primeiro, encontramos o fator integrante mu(t) :
mu(t) = e^integral 4t dt = e^4 ln t = t^4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
t^4 d ud t + 4 t^3 u = 2 t^2
O lado esquerdo é a derivada de t^4 u :
dd t (t^4 u) = 2 t^2
Integrando ambos os lados:
t^4 u = integral 2 t^2 dt = 23 t^3 + C
Então:
u = 23 t^-1 + C t^-4

Passo 8

Lembrando que u = y^-2 , temos:
y^-2 = 23 t^-1 + C t^-4
Invertemos para encontrar y :
y = ( 23 t^-1 + C t^-4 )^-1/2
Podemos simplificar:
y(t) = raiz 3 t2 + C t^-3
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação t^2 d yd t = 2 t y - y^3 é:
y(t) = raiz 3 t2 + C t^-3
Além disso, a equação não é linear devido ao termo y^3 .

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