( 6.5 pontos) Resolver a equação
, e diga se é linear ou nāo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A equação que precisamos resolver é
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Além disso, temos que dizer se essa equação é linear ou não. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais, especificamente as equações de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
sozinho. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por
:
Agora, a equação está na forma:
Passo 3
Vamos verificar se a equação é linear ou não. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma
. No nosso caso, temos um termo
, que não é de primeiro grau em
. Como temos
, a equação não é linear; ela é uma equação de Bernoulli.
Passo 4
Agora que sabemos que é uma equação de Bernoulli, podemos resolver usando uma substituição adequada. A forma geral de uma equação de Bernoulli é:
No nosso caso,
,
e
. Para resolver, vamos fazer a substituição
.
Passo 5
Com a substituição
, precisamos encontrar
. Usando a regra da cadeia:
Vamos substituir
da equação original nessa expressão.
Passo 6
Substituindo na expressão de
:
Lembrando que
, a equação fica:
Essa é uma equação linear em termos de
.
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação linear para
:
Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Então:
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Invertemos para encontrar
:
Podemos simplificar:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação
é:
Além disso, a equação não é linear devido ao termo
.