2 Pontos Encontre a antideriva da f(t), quando:
\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(t)=2 \cos (t)+\operatorname{sec} ^{2}(t) \\\ f(\pi / 3)=4 \\\ \text { sendo: }-\pi / 2<t<\pi / 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a derivada
f'(t) = 2\cos(t) + \operatorname{sec}^2(t)
no intervalo -\tfrac{\pi}{2}<t<\tfrac{\pi}{2} e a condição inicial f(\pi/3)=4. O conteúdo necessário é antiderivação de funções trigonométricas e determinação da constante de integração.

Passo 2

Para obter f(t), integramos f'(t):
f(t) = \int f'(t)\,dt = \int \bigl(2\cos(t) + \operatorname{sec}^2(t)\bigr)\,dt.
Separando termos,
\int 2\cos(t)\,dt = 2\sin(t),
\int \operatorname{sec}^2(t)\,dt = \tan(t).
Logo
f(t) = 2\sin(t) + \tan(t) + C.

Passo 3

Usamos a condição f(\pi/3)=4:
4 = f\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 2\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) + \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) + C = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} + C = 2\sqrt{3} + C.
Dessa forma
C = 4 - 2\sqrt{3}.

Passo 4

Substituindo C em f(t), obtemos
f(t) = 2\sin(t) + \tan(t) + 4 - 2\sqrt{3}.

Resposta

f(t) = 2\sin(t) + \tan(t) + 4 - 2\sqrt{3}.

Exercícios relacionados