(2 pontos) Encontre uma base ortonormal para o espaço vetorial formado pela combinação linear dos dois vetores abaixo:
\boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}=\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 4 \\\\ 0 \end{array}\right] ; \quad \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}=\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -4 \\\\ 2 \end{array}\right]
Mostre os cálculos necessários para que se chege à resposta correta.

Resposta

  • u_{1}=\frac{v_{1}}{\left\|v_{1}\right\|}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 4 \\\\ 0\end{array}\right]
  • temos
\begin{aligned} \boldsymbol{u}_{\mathbf{2}}^{\prime} & =\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -4 \\\\ 2 \end{array}\right]-\frac{1}{25}\left(\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 4 \\\\ 0 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -4 \\\\ 2 \end{array}\right]\right)\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 4 \\\\ 0 \end{array}\right]\right\} \\\ & =\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -4 \\\\ 2 \end{array}\right]-(-1)\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 4 \\\\ 0 \end{array}\right] \\\ & =\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 2 \end{array}\right] \end{aligned}
  • Logo \boldsymbol{u}_{\mathbf{2}}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço gerado pelos vetores
\boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}-3\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}3\\\ -4\\\ 2\end{pmatrix}.
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que consiste em normalizar o primeiro vetor e depois ortogonalizar e normalizar o segundo em relação ao primeiro.

Passo 2

Calcular a norma de \boldsymbol{v}_{1} e obter o primeiro vetor unitário \boldsymbol{u}_{1}.
A norma é
\|\boldsymbol{v}_{1}\| =\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}+0^{2}} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5.
Logo
\boldsymbol{u}_{1} =\frac{\boldsymbol{v}_{1}}{\|\boldsymbol{v}_{1}\|} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-3\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Projetar \boldsymbol{v}_{2} sobre \boldsymbol{v}_{1} e subtrair para obter \boldsymbol{v}_{2}'.
A projeção de \boldsymbol{v}_{2} em \boldsymbol{v}_{1} é
\mathrm{proj}_{\boldsymbol{v}_{1}}(\boldsymbol{v}_{2}) =\frac{\boldsymbol{v}_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{1}}{\|\boldsymbol{v}_{1}\|^{2}}\,\boldsymbol{v}_{1}.
Como
\boldsymbol{v}_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{1} =3\cdot(-3)+(-4)\cdot4+2\cdot0 =-9-16+0 =-25,
temos
\mathrm{proj}_{\boldsymbol{v}_{1}}(\boldsymbol{v}_{2}) =\frac{-25}{25}\,\boldsymbol{v}_{1} =-1\cdot\begin{pmatrix}-3\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\\ -4\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto
\boldsymbol{v}_{2}' =\boldsymbol{v}_{2}-\mathrm{proj}_{\boldsymbol{v}_{1}}(\boldsymbol{v}_{2}) =\begin{pmatrix}3\\\ -4\\\ 2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}3\\\ -4\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular a norma de \boldsymbol{v}_{2}' e obter o segundo vetor unitário \boldsymbol{u}_{2}.
A norma é
\|\boldsymbol{v}_{2}'\| =\sqrt{0^{2}+0^{2}+2^{2}} =\sqrt{4} =2.
Então
\boldsymbol{u}_{2} =\frac{\boldsymbol{v}_{2}'}{\|\boldsymbol{v}_{2}'\|} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Os vetores \boldsymbol{u}_{1} e \boldsymbol{u}_{2} formam uma base ortonormal do subespaço gerado por \boldsymbol{v}_{1} e \boldsymbol{v}_{2}, pois são unitários e mutuamente ortogonais.

Resposta

\displaystyle \boldsymbol{u}_{1} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-3\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{u}_{2} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

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