(2 pontos) Encontre os valores de a e b tais que tenhamos a reta ( y=a x+b ) que mais se aproxime aos pontos (x, y) abaixo:
x y
0 -1
2 -1
3 0
5 4
Dica: Encontre um sistema de equações utilizando cada par de pontos e resolva o sistema utilizando o método dos mínimos quadrados.

Resposta

Podemos transformar o sistema acima em uma equação matricial A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}, com:
A=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & 1 \\\\ 5 & 1 \end{array}\right] ; \quad \boldsymbol{y}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 4 \end{array}\right]
Agora podemos resolver por mínimos quadrados.
\begin{gathered} A^{t} A=\left[\begin{array}{rr} 38 & 10 \\\\ 10 & 4 \end{array}\right] \quad\left(A^{t} A\right)^{-1}=\frac{1}{52}\left[\begin{array}{rr} 4 & -10 \\\\ -10 & 38 \end{array}\right] \\\ A^{t} \boldsymbol{y}=\left[\begin{array}{r} 18 \\\\ 2 \end{array}\right] \\\ \hat{\boldsymbol{x}}=\frac{1}{52}\left[\begin{array}{r} 72-20 \\\\ -180+76 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \end{array}\right] \\\ \operatorname{Proj}_{W} \boldsymbol{y}=A \hat{\boldsymbol{x}}=\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right] \\\ \boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}-\hat{\boldsymbol{y}}\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right] \\\ \operatorname{erro}=\|\boldsymbol{z}\|=\sqrt{4}=2,0 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede a reta de regressão linear da forma \;y = a x + b\; que melhor se aproxima dos pontos (0,-1), (2,-1), (3,0) e (5,4). Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, montando o sistema matricial A\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} e depois resolvendo as equações normais.

Passo 2

Definimos
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & 1 \\\\ 5 & 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{y} = \begin{pmatrix} -1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 4 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}.

Passo 3

As equações normais são
A^T A\;\hat{\boldsymbol{x}} = A^T \boldsymbol{y}.
Calculamos
A^T A = \begin{pmatrix}38 & 10 \\\\ 10 & 4\end{pmatrix}, \qquad A^T \boldsymbol{y} = \begin{pmatrix}18 \\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Para resolver
\begin{pmatrix}38 & 10 \\\\ 10 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18 \\\\ 2\end{pmatrix}
usamos o determinante \det=38\cdot4-10\cdot10=52. Assim
a = \frac{4\cdot18 - 10\cdot2}{52} = \frac{72-20}{52} = 1, \quad b = \frac{-10\cdot18 + 38\cdot2}{52} = \frac{-180+76}{52} = -2.

Resposta

a = 1, b = -2.

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