(2 pontos) Seja \mathcal{P}_{2} o espaço vetorial formado por todos os polinômios de grau menor ou igual à dois. Um exemplo seria \boldsymbol{p}(t)=3-\frac{7}{2} t+\frac{11}{2} t^{2}. Considere que dados dois vetores \boldsymbol{u}(t), \boldsymbol{v}(t) \in \mathcal{P}_{2}, temos a operação produto interno <\boldsymbol{u}(t), \boldsymbol{v}(t)> definida como:
<\boldsymbol{u}(t), \boldsymbol{v}(t)>=u(-1) v(-1)+u(1) v(1) .
Utilize esta definição para normalizar o vetor \boldsymbol{p}(t) dado no enunciado desta questão.

Resposta

Temos que \|\boldsymbol{p}\|^{2}=\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{p}=(3+3,5+5,5)^{2}+(3-3,5+5,5)^{2}=12^{2}+5^{2}=13^{2}. Logo \|\boldsymbol{p}\|=13 e, portanto, o vetor \boldsymbol{p} normalizado é dado por \frac{1}{13} \boldsymbol{p}=\frac{1}{26}\left(6-7 t+11 t^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para normalizar o polinômio
p(t)=3-\tfrac{7}{2}t+\tfrac{11}{2}t^{2}
no espaço \mathcal{P}_{2} equipado com o produto interno
\langle u,v\rangle = u(-1)\,v(-1)+u(1)\,v(1).
Para normalizar, vamos calcular a norma de p, definida por
\|p\| = \sqrt{\langle p,p\rangle},
e então dividir p por \|p\|.

Passo 2

Calcular os valores de p em -1 e em 1:
p(-1)=3-\tfrac{7}{2}(-1)+\tfrac{11}{2}(1)=3+\tfrac{7}{2}+\tfrac{11}{2}=3+9=12,
p(1)=3-\tfrac{7}{2}(1)+\tfrac{11}{2}(1)=3-\tfrac{7}{2}+\tfrac{11}{2}=3+2=5.

Passo 3

Calcular o produto interno de p consigo mesmo:
\langle p,p\rangle = p(-1)^{2}+p(1)^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169.

Passo 4

Obter a norma de p:
\|p\|=\sqrt{169}=13.

Passo 5

Dividir o polinômio p pela sua norma:
p_{\text{norm}}(t)=\frac{1}{\|p\|}\,p(t) =\frac{1}{13}\Bigl(3-\tfrac{7}{2}t+\tfrac{11}{2}t^{2}\Bigr).
Multiplicando numerador e denominador por 2, fica
p_{\text{norm}}(t)=\frac{6 - 7t + 11t^{2}}{26}.

Resposta

O polinômio p normalizado é
\frac{6 - 7t + 11t^{2}}{26}.

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