Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
(a) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{2 t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'' - 2y' + y = e^{2t},\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O conteúdo usado será a transformada de Laplace de derivadas e a propriedade linear da transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s),
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s),
\mathcal{L}\{e^{2t}\}=\frac{1}{s-2}.
Logo a equação transformada é
s^2Y(s)-2\bigl(sY(s)\bigr)+Y(s)=\frac{1}{s-2}.

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo, obtemos
\bigl(s^2-2s+1\bigr)Y(s)=\frac{1}{s-2}.
Como s^2-2s+1=(s-1)^2, segue
Y(s)=\frac{1}{(s-2)(s-1)^2}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{1}{(s-2)(s-1)^2} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{(s-1)^2}.
Multiplicando por (s-2)(s-1)^2 e avaliando em s=2 e s=1 e em outro valor qualquer, obtemos
A=1,\quad B=-1,\quad C=-1.
Assim
Y(s)=\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s-1}-\frac{1}{(s-1)^2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-2)\}=e^{2t},
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-1)\}=e^{t},
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-1)^2\}=t\,e^{t}.
Logo
y(t)=e^{2t}-e^{t}-t\,e^{t}.

Resposta

y(t)=e^{2t}-e^{t}\bigl(1+t\bigr).

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