Seja V um espaço vetorial com subespaços U e W. Defina a soma de U eW como
U+W=\{\mathbf{u}+\mathbf{w}: \mathbf{u} \text { pertence a } U, \mathbf{w} \text { pertence a } W\}
Se V=\mathbb{R}^{3}, U é o eixo x e W é o eixo y, o que é U+W ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar
U+W = \{\mathbf{u} + \mathbf{w} : \mathbf{u}\in U,\;\mathbf{w}\in W\}
quando V = \mathbb{R}^3, U é o eixo x e W é o eixo y. O conteúdo é soma de subespaços em espaços vetoriais.

Passo 2

Descrevemos primeiro
U = \{(x,0,0) : x\in\mathbb{R}\},
pois o eixo x em \mathbb{R}^3 são todos os vetores com segunda e terceira componentes zero.

Passo 3

De modo análogo,
W = \{(0,y,0) : y\in\mathbb{R}\},
já que o eixo y consiste dos vetores cuja primeira e terceira componentes são zero.

Passo 4

Qualquer soma \mathbf{u} + \mathbf{w} com \mathbf{u}=(x,0,0) e \mathbf{w}=(0,y,0)
(x,0,0) + (0,y,0) = (x,y,0).
Logo
U + W = \{(x,y,0) : x,y\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

O conjunto \{(x,y,0)\} é exatamente o plano coordenado xy em \mathbb{R}^3 (ou seja, o plano z=0), que é um subespaço vetorial de dimensão 2.

Resposta

U+W = \{(x,y,0) : x,y\in\mathbb{R}\},
o plano z=0 em \mathbb{R}^3.

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