(2.5 pontos) Encontre y(t) que resolve a equaçāo integral abaixo usando Transformada de Laplace.
y(t)=3 t^2-e^-t-integral0^t y(t) e^t-k d k

Passo 1

O enunciado nos dá a equação integral de Volterra de segunda espécie
y(t)=3t^2-e^-t-integral0^ty(k),e^,t-k,dk
e pede para encontrar y(t) usando Transformada de Laplace. Vamos reescrever e aplicar as propriedades de Laplace.

Passo 2

Reescrevendo a equação para agrupar y e a integral no mesmo lado, temos
y(t)+integral0^ty(k),e^,t-k,dk ;=;3t^2-e^-t

Passo 3

Aplicando Transformada de Laplace em ambos os lados:
- Ly(t)=Y(s).
- L3t^2=6/s^3.
- Le^-t=1/(s+1).
- Para I(t)=integral0^ty(k)e^,t-kdk, note que I(t)=e^tintegral0^ty(k)e^-kdk.
Definindo u(t)=integral0^ty(k)e^-kdk, tem-se
Lu(s)=1s,Y(s+1),
e portanto
LI(s)=Le^tu(t)(s)=Lu(t)(s-1) =1,s-1,;Y(s)

Passo 4

A Transformada de Laplace da equação dá
Y(s);+;1,s-1,,Y(s) ;=;6s^3;-;1s+1
Fatorando Y(s):
Y(s),l(1+1s-1r) =6s^3-1s+1 Longrightarrow Y(s),ss-1 =6s^3-1s+1
Logo
Y(s) =s-1s;l(6s^3-1s+1r) =6,s-1s^4-s-1s(s+1)

Passo 5

Fazendo frações parciais em cada termo:
6,s-1s^4 =6l(1s^3-1s^4r), s-1s(s+1) =-1s+2s+1
Então
Y(s) =6l(1s^3-1s^4r) -l(-1s+2s+1r) =6s^3-6s^4+1s-2s+1

Passo 6

Invertendo a Transformada de Laplace termo a termo:
L^-1l6s^3r=3t^2, L^-1l-6s^4r=-t^3, L^-1l1sr=1, L^-1l-2s+1r=-2e^-t
Portanto
y(t)=-t^3+3t^2+1-2e^-t

Resposta

y(t)=-t^3+3t^2+1-2e^-t

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