(2.5 pontos) Encontre
que resolve a equaçāo integral abaixo usando Transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação integral de Volterra de segunda espécie
e pede para encontrar
usando Transformada de Laplace. Vamos reescrever e aplicar as propriedades de Laplace.
Passo 2
Reescrevendo a equação para agrupar
e a integral no mesmo lado, temos
Passo 3
Aplicando Transformada de Laplace em ambos os lados:
- .
- .
- .
- Para , note que
.
Definindo , tem-se
-
-
-
- Para
Definindo
e portanto
Passo 4
A Transformada de Laplace da equação dá
Fatorando
:
Logo
Passo 5
Fazendo frações parciais em cada termo:
Então
Passo 6
Invertendo a Transformada de Laplace termo a termo:
Portanto