(2,5 pontos) Se de<a representa a função delta de Dirac, resolva o PVI abaixo.
l y^prime prime-y=-20 de<a(t-3) y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá um PVI com força do tipo impulso em t=3:
y''-y=-20,de<a(t-3), y(0)=1,;y'(0)=0
O que vamos usar é que fora do ponto de impulso ( tneq3) a equação é homogênea y''-y=0, cujas soluções são combinações de e^t e e^-t. No ponto t=3 a função y é contínua, mas y' sofre um salto determinado pela integral do delta.

Passo 2

Para 0<= t<3 ignoramos o delta e resolvemos
y''-y=0
A equação característica é r^2-1=0, com raízes r=pm1. Logo
y(t)=C1e^t + C2e^-t
Impondo y(0)=1 e y'(0)=0 obtemos
C1+C2=1, C1-C2=0 Longrightarrow C1=C2=tfrac12
Portanto, para 0<= t<3
y(t)=tfrac12e^t+tfrac12e^-t=cosh t

Passo 3

Avaliaremos os limites à esquerda em t=3:
y(3^-)=cosh3, y'(t)=sinh t ;Longrightarrow; y'(3^-)=sinh3

Passo 4

Integramos a equação de 3^- a 3^+:
integral3^-^3^+(y''-y),dt =l[y'r]3^-^3^+-integral3^-^3^+y,dt =-20integral3^-^3^+de<a(t-3),dt=-20
Como integral3^-^3^+y,dtto0 quando o intervalo encolhe, fica
y'(3^+)-y'(3^-)= -20 Longrightarrow y'(3^+)=sinh3-20
A continuidade de y y(3^+)=y(3^-)=cosh3.

Passo 5

Para t>3 voltamos à homogênea y''-y=0, com solução
y(t)=A,e^t + B,e^-t
Impondo as condições em t=3:
A,e^3 + B,e^-3 = cosh3, A,e^3 - B,e^-3 = sinh3 - 20
Somando as duas:
2A,e^3 = (cosh3) + (sinh3-20) = e^3 -20 Longrightarrow A = tfrac12 -10e^-3
Subtraindo:
2B,e^-3 = (cosh3) - (sinh3-20) = e^-3+20 Longrightarrow B = tfrac12 +10e^3

Passo 6

Logo, para t>3,
y(t) =l(tfrac12-10e^-3r)e^t +l(tfrac12+10e^3r)e^-t
Reescrevendo,
y(t) =tfrac12(e^t+e^-t) -10l(e^t-3-e^3-tr) =cosh t -20,sinhl(t-3r)

Resposta

Para o PVI dado,
y(t)= cosh t, & 0<= t<3,[6pt] cosh t ;-;20,sinh(t-3), & t>=3 ]

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