pontos) Se
representa a função delta de Dirac, resolva o PVI abaixo.
Passo 1
O enunciado dá um PVI com força do tipo impulso em
:
O que vamos usar é que fora do ponto de impulso (
) a equação é homogênea
, cujas soluções são combinações de
e
. No ponto
a função
é contínua, mas
sofre um salto determinado pela integral do delta.
Passo 2
Para
ignoramos o delta e resolvemos
A equação característica é
, com raízes
. Logo
Impondo
e
obtemos
Portanto, para
Passo 3
Avaliaremos os limites à esquerda em
:
Passo 4
Integramos a equação de
a
:
Como
quando o intervalo encolhe, fica
A continuidade de
dá
.
Passo 5
Para
voltamos à homogênea
, com solução
Impondo as condições em
:
Somando as duas:
Subtraindo:
Passo 6
Logo, para
,
Reescrevendo,
Resposta
Para o PVI dado,