(6 pontos )Usando a regra de L’Hôpital, calcule os seguintes limites:
(a) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\operatorname{sen}(x)^{\operatorname{sen}(x)}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0^+}\bigl(\sin(x)^{\sin(x)}\bigr)
usando a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Se fizermos x\to0^+ diretamente, temos \sin(x)\to0 e o expoente \sin(x)\to0, portanto aparece a forma indeterminada 0^0.

Passo 3

Para resolver 0^0, definimos
y = \sin(x)^{\sin(x)}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, vem
\ln(y) = \sin(x)\,\ln\bigl(\sin(x)\bigr).

Passo 4

Precisamos de \lim_{x\to0^+}\ln(y). Note que \sin(x)\ln(\sin(x)) é tipo 0\cdot(-\infty), então reescrevemos como quociente:
\sin(x)\ln(\sin(x)) = \frac{\ln(\sin(x))}{1/\sin(x)}.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(\sin(x))}{1/\sin(x)} \stackrel{\mathrm{H}}{=} \lim_{x\to0^+}\frac{\frac{d}{dx}[\ln(\sin(x))]}{\frac{d}{dx}[1/\sin(x)]} = \lim_{x\to0^+}\frac{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}} = \lim_{x\to0^+}(-\sin(x)) =0.
Logo
\lim_{x\to0^+}\ln(y)=0.

Passo 5

Como \ln(y)\to0, conclui-se y\to e^0=1.

Resposta

1

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