(2 pontos) Encontre a solução contínua da EDO linear abaixo:
\frac{d y}{d x}+y=f(x), \quad f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1,0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, x>1 ; \end{array} \quad \text { e } \quad y(0)=2\right.

Passo 1

O enunciado apresenta uma EDO linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + y = f(x),
com
f(x)= \begin{cases} 1, & 0 \le x \le 1,\\\\ 0, & x>1, \end{cases}
e condição inicial y(0)=2.
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que se aplica a equações da forma \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x). Aqui P(x)=1, então
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int1\,dx}=e^x.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^x\bigr)=f(x)\,e^x.
Integrando de 0 até x,
y(x)\,e^x - y(0)\,e^0 = \int_{0}^{x} f(s)\,e^s\,ds,
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y(x)\,e^x = 2 + \int_{0}^{x} f(s)\,e^s\,ds.

Passo 4

Para 0 \le x \le 1, temos f(s)=1. Então
\int_{0}^{x} f(s)\,e^s\,ds = \int_{0}^{x} e^s\,ds = e^x - 1.
Substituindo em y(x)\,e^x = 2 + (e^x-1), vem
y(x)\,e^x = e^x + 1 \quad\Longrightarrow\quad y(x) = 1 + e^{-x}.

Passo 5

Para x>1, f(s)=1 apenas em 0\le s\le1 e vale zero para s>1. Logo
\int_{0}^{x} f(s)\,e^s\,ds = \int_{0}^{1} e^s\,ds = e - 1.
Assim
y(x)\,e^x = 2 + (e-1) = e + 1 \quad\Longrightarrow\quad y(x) = (e+1)\,e^{-x}.
Note que em x=1 ambas as fórmulas coincidem em 1+e^{-1}=(e+1)e^{-1}, garantindo continuidade.

Resposta

y(x)= \begin{cases} 1 + e^{-x}, & 0 \le x \le 1,\\\ (e+1)\,e^{-x}, & x > 1. \end{cases}

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