(4 pontos) Transforme
(x-3 y-1) d y-(3 x+4 y-2) d x=0
em uma equação homogênea e a resolva.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x-3y-1)\,dy \;-\;(3x+4y-2)\,dx \;=\;0,
que não é homogênea pois aparecem termos constantes. Vamos usar uma mudança de origem
x = X + h,\quad y = Y + k
de modo a anular os termos constantes em M(x,y) e N(x,y).

Passo 2

Em termos de X,Y\) temos \[M\,dx+N\,dy = -(3x+4y-2)\,dx + (x-3y-1)\,dy
torna-se
-(3(X+h)+4(Y+k)-2)\,dX + ((X+h)-3(Y+k)-1)\,dY.
Para eliminar as constantes impomos
3h + 4k - 2 = 0, \qquad h - 3k - 1 = 0.
Resolvendo
\begin{cases} 3h + 4k = 2,\\\ h - 3k = 1, \end{cases}
vem k = -\tfrac1{13}\] e \(h = \tfrac{10}{13}.

Passo 3

Definimos
X = x - \tfrac{10}{13}, \qquad Y = y + \tfrac{1}{13}.
Substituindo, a equação fica homogênea:
(X - 3Y)\,dY \;-\;(3X + 4Y)\,dX = 0,
ou equivalentemente
\frac{dY}{dX} \;=\;\frac{3X + 4Y}{\,X - 3Y\,}.

Passo 4

Fazemos a substituição usual para homogêneas,
Y = vX,
logo
\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}
e a equação vira
v + X\frac{dv}{dX} = \frac{3 + 4v}{\,1 - 3v\,}.
Isolando dv/dX obtemos
X\frac{dv}{dX} = \frac{3+4v}{1-3v} \;-\;v = \frac{3+3v+3v^2}{1-3v} = 3\,\frac{v^2+v+1}{1-3v}.

Passo 5

Separe variáveis:
\frac{1-3v}{v^2+v+1}\,dv = 3\,\frac{dX}{X}.
Integramos ambos os lados. Para a esquerda escrevemos
\int \frac{1-3v}{v^2+v+1}\,dv = \int\frac{dv}{v^2+v+1} -3\int\frac{v\,dv}{v^2+v+1}.
Calcula-se
\int\frac{dv}{v^2+v+1} =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{2v+1}{\sqrt{3}}\Bigr),
e
\int\frac{v\,dv}{v^2+v+1} =\frac12\ln\bigl(v^2+v+1\bigr) -\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{2v+1}{\sqrt{3}}\Bigr).
Combinando, chega-se a
\int\frac{1-3v}{v^2+v+1}\,dv = \frac{5}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{2v+1}{\sqrt{3}}\Bigr) -\frac{3}{2}\ln\bigl(v^2+v+1\bigr).
No lado direito:
\int 3\,\frac{dX}{X} = 3\ln\lvert X\rvert + C.

Passo 6

Igualando as integrais,
\frac{5}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{2v+1}{\sqrt{3}}\Bigr) -\frac{3}{2}\ln\bigl(v^2+v+1\bigr) =3\ln\lvert X\rvert + C.

Passo 7

Voltando às variáveis originais:
v = \frac{Y}{X} = \frac{\,y+\tfrac1{13}\,}{\,x-\tfrac{10}{13}\,}, \qquad X = x - \tfrac{10}{13}.
Logo a solução geral implícita é
\boxed{ \frac{5}{\sqrt{3}} \arctan\!\Bigl( \frac{2\bigl(y+\tfrac1{13}\bigr)/(x-\tfrac{10}{13}) + 1} {\sqrt{3}} \Bigr) -\frac{3}{2} \ln\!\Bigl( \bigl(y+\tfrac1{13}\bigr)^2 + \bigl(y+\tfrac1{13}\bigr)\,\bigl(x-\tfrac{10}{13}\bigr) + \bigl(x-\tfrac{10}{13}\bigr)^2 \Bigr) =3\ln\Bigl\lvert x-\tfrac{10}{13}\Bigr\rvert + C. }

Resposta

\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan\!\Bigl( \frac{2\bigl(y+\tfrac1{13}\bigr)/(x-\tfrac{10}{13}) + 1} {\sqrt{3}} \Bigr) -\frac{3}{2} \ln\!\Bigl( \bigl(y+\tfrac1{13}\bigr)^2 + \bigl(y+\tfrac1{13}\bigr)\,\bigl(x-\tfrac{10}{13}\bigr) + \bigl(x-\tfrac{10}{13}\bigr)^2 \Bigr) =3\ln\Bigl\lvert x-\tfrac{10}{13}\Bigr\rvert + C.

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