(4 pontos) Transforme
em uma equação homogênea e a resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que não é homogênea pois aparecem termos constantes. Vamos usar uma mudança de origem
de modo a anular os termos constantes em
e
.
Passo 2
Em termos de
torna-se
Para eliminar as constantes impomos
Resolvendo
vem
.
Passo 3
Definimos
Substituindo, a equação fica homogênea:
ou equivalentemente
Passo 4
Fazemos a substituição usual para homogêneas,
logo
e a equação vira
Isolando
obtemos
Passo 5
Separe variáveis:
Integramos ambos os lados. Para a esquerda escrevemos
Calcula-se
e
Combinando, chega-se a
No lado direito:
Passo 6
Igualando as integrais,
Passo 7
Voltando às variáveis originais:
Logo a solução geral implícita é