Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=t^{2}+3, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2y = t^2 + 3,
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
O método consiste em achar a solução geral como
y(t)=y_h(t)+y_p(t),
onde y_h é a solução da equação homogênea e y_p uma solução particular.

Passo 2

Para a homogênea associada
y'' + y' - 2y = 0
tomamos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0.
Fatorando, (r+2)(r-1)=0, logo r=-2 ou r=1.
Assim
y_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{t}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p polinomial de grau 2, digamos
y_p(t) = A\,t^2 + B\,t + C.
Então
y_p'(t) = 2A\,t + B, \qquad y_p''(t) = 2A.
Substituindo em y''+y'-2y = t^2+3:
2A + (2A\,t + B) - 2\,(A\,t^2 + B\,t + C) = t^2 + 3.
Agrupando termos:
-2A\,t^2 + (2A-2B)\,t + (2A+B-2C) = t^2 + 3.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} -2A = 1,\\\\ 2A - 2B = 0,\\\\ 2A + B - 2C = 3, \end{cases}
de onde
A = -\tfrac12,\quad 2(-\tfrac12)-2B=0\implies B=-\tfrac12,\quad 2(-\tfrac12)+(-\tfrac12)-2C=3\implies C=-\tfrac{9}{4}.
Logo
y_p(t) = -\tfrac12\,t^2 - \tfrac12\,t - \tfrac{9}{4}.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{t} \;-\;\tfrac12\,t^2 - \tfrac12\,t - \tfrac{9}{4}.

Passo 5

Impondo [y(0)=0) e y'(0)=0:
  1. Em t=0:
y(0)=C_1 + C_2 - \tfrac{9}{4} = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = \tfrac{9}{4}.
  1. Calculamos
y'(t) = -2C_1 e^{-2t} + C_2 e^{t} - (t + \tfrac12),
então em t=0:
y'(0) = -2C_1 + C_2 - \tfrac12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2C_1 + C_2 = \tfrac12.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac{9}{4},\\\\ -2C_1 + C_2 = \tfrac12, \end{cases}
vem C_1 = \tfrac{7}{12}\] e \(C_2 = \tfrac{5}{3}.

Resposta

\boxed{% y(t) = \frac{7}{12}\,e^{-2t} + \frac{5}{3}\,e^{t} - \tfrac12\,t^2 - \tfrac12\,t - \tfrac{9}{4} }.

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