(2,5 pontos) Verifique que a equaçāo (9 x^2+y-1) d x+(x-4 y) d y=0 é exata. Em seguida, resolva a equação diferencial.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(9x^2+y-1r),dx + (x - 4y),dy = 0
que é do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Precisamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, achar a função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M e partial psipartial y=N,
para obter a solução implícita psi(x,y)=C.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=9x^2+y-1, N(x,y)=x-4y
Para exatidão, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Mpartial y =partialpartial yl(9x^2+y-1r) =1,
partial Npartial x =partialpartial x(x-4y) =1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe psi(x,y) tal que psix=M. Integramos M em relação a x:
psi(x,y) =integral (9x^2+y-1),dx =3x^3+x,y - x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos psiy=N. Calculamos
psiy =partialpartial yl(3x^3+x,y - x + h(y)r) =x + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=x-4y:
x + h'(y)=x-4y Longrightarrow h'(y)=-4y

Passo 5

Integramos h'(y) para achar h(y):
h(y)=integral (-4y),dy = -2y^2 + C1
Podemos absorver a constante C1 na constante geral da solução final.

Passo 6

Substituindo h(y) em psi, obtemos a função potencial
psi(x,y) =3x^3+x,y - x ;-;2y^2
A solução geral da equação exata é
psi(x,y)=C,
ou seja
3x^3+x,y - x - 2y^2=C

Resposta

3x^3+x,y - x - 2y^2=C

Exercícios relacionados