Usando coordenadas esféricas, determine o volume:
(a) da parte da bola
que está entre os cones
e
.
(b) da região cortada do cilindro sólido
pela esfera
.
(c) da menor região cortada da esfera sólida
pelo plano
.
(d) do sólido contido no interior do cone
, entre as esferas
e
.
(e) do sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
.
(f) do sólido limitado acima pela esfera
abaixo pelo cone
.
(g) da porção da esfera sólida
que está entre os cones
e
.
(h)
do sólido que está acima do plano
e abaixo da esfera
.
(a) da parte da bola
(b) da região cortada do cilindro sólido
(c) da menor região cortada da esfera sólida
(d) do sólido contido no interior do cone
(e) do sólido que está dentro da esfera
(f) do sólido limitado acima pela esfera
(g) da porção da esfera sólida
(h)
Passo 1
Vamos usar coordenadas esféricas
, onde
e o elemento de volume é
Em cada item expressamos a região em termos de limites para
e então calculamos
Passo 2
(a) Região:
de
a
,
de
a
,
de
a
.
Calculando
Logo
Passo 3
(b) Região: cilindro
cortado pela esfera
. Em coordenadas cilíndricas
Com
,
:
Passo 4
(c) Menor região da esfera
acima do plano
. Em coordenadas cilíndricas
Calculando
logo
Passo 5
(d) Sólido no interior do cone
, entre
e
.
Passo 6
(e) Região dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
(
).
Passo 7
(f) Sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
(
).
Passo 8
(g) Porção da esfera
entre
e
.
Passo 9
(h) Região acima do plano
e abaixo da esfera
. Em cilindricas
Avalia-se
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)