Usando coordenadas esféricas, determine o volume:
(a) da parte da bola rho <= a que está entre os cones phi=pi / 6 e phi=pi / 3.
(b) da região cortada do cilindro sólido x^2+y^2 <= 1 pela esfera x^2+y^2+z^2=4.
(c) da menor região cortada da esfera sólida rho <= 2 pelo plano z=1.
(d) do sólido contido no interior do cone phi=pi / 4, entre as esferas rho=1 e rho=2.
(e) do sólido que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4, acima do plano x y e abaixo do cone z=raizx^2+y^2.
(f) do sólido limitado acima pela esfera rho=4 e abaixo pelo cone phi=pi / 3.
(g) da porção da esfera sólida rho <= a que está entre os cones phi=pi / 3 e phi=2 pi / 3.
(h) * do sólido que está acima do plano z=2 raiz3 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=16.

Passo 1

Vamos usar coordenadas esféricas (rho,phi,theta), onde
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
e o elemento de volume é
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Em cada item expressamos a região em termos de limites para rho,phi,theta e então calculamos
V=integralthetaintegralphiintegralrhorho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 2

(a) Região: rho de 0 a a, phi de pi/6 a pi/3, theta de 0 a 2pi.
Va =integral0^2piintegralpi/6^pi/3integral0^arho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =2piintegralpi/6^pi/3sinphi,dphiintegral0^arho^2drho
Calculando
integral0^arho^2drho=a^33, integralpi/6^pi/3sinphi,dphi=l[-cosphir]pi/6^pi/3 =cos!tfracpi6-cos!tfracpi3=raiz32-12
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Va =2picdota^33l(raiz3-12r) =pi a^33(raiz3-1)

Passo 3

(b) Região: cilindro r<=1 cortado pela esfera r^2+z^2=4. Em coordenadas cilíndricas
Vb =integral0^2piintegral0^1integral-,raiz4-r^2^raiz4-r^2r,dz,dr,dtheta =2piintegral0^12rraiz4-r^2,dr
Com u=4-r^2, du=-2r,dr:
Vb=4piintegral0^1rraiz4-r^2,dr =4picdotl[-tfrac12cdottfrac23u^3/2r]u=4^u=3 =4pi3l(4^3/2-3^3/2r) =4pi3(8-3raiz3)

Passo 4

(c) Menor região da esfera rho<=2 acima do plano z=1. Em coordenadas cilíndricas
Vc =integralz=1^2integralr=0^raiz4-z^2integraltheta=0^2pir,dtheta,dr,dz =2piintegral1^2(4-z^2),dz
Calculando
integral1^2(4-z^2)dz =l[4z-tfracz^33r]1^2 =(8-tfrac83)-(4-tfrac13) =53,
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Vc=2picdot53=5pi3

Passo 5

(d) Sólido no interior do cone phi=pi/4, entre rho=1 e rho=2.
Vd =integral0^2piintegral0^pi/4integral1^2rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =2piintegral0^pi/4sinphi,dphiintegral1^2rho^2drho
integral1^2rho^2drho=2^3-1^33=73, integral0^pi/4sinphi,dphi=1-costfracpi4=1-raiz22
Vd =2picdot73l(1-raiz22r) =14pi3l(1-raiz22r)

Passo 6

(e) Região dentro da esfera rho=2, acima do plano z=0 e abaixo do cone z=raizx^2+y^2 ( phiin[pi/4,pi/2]).
Ve =integral0^2piintegralpi/4^pi/2integral0^2rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =2piintegralpi/4^pi/2sinphi,dphiintegral0^2rho^2drho
integral0^2rho^2drho=83, integralpi/4^pi/2sinphi,dphi=costfracpi4-costfracpi2=raiz22
Ve =2picdot83cdotraiz22 =8raiz2,pi3

Passo 7

(f) Sólido limitado acima pela esfera rho=4 e abaixo pelo cone phi=pi/3 ( phiin[0,pi/3]).
Vf =integral0^2piintegral0^pi/3integral0^4rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =2piintegral0^pi/3sinphi,dphiintegral0^4rho^2drho
integral0^4rho^2drho=643, integral0^pi/3sinphi,dphi=1-12=12
Vf =2picdot643cdot12 =64pi3

Passo 8

(g) Porção da esfera rho<= a entre phi=pi/3 e phi=2pi/3.
Vg =integral0^2piintegralpi/3^2pi/3integral0^arho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =2piintegralpi/3^2pi/3sinphi,dphiintegral0^arho^2drho
integral0^arho^2drho=a^33, integralpi/3^2pi/3sinphi,dphi =l[-cosphir]pi/3^2pi/3 =-cos!tfrac2pi3+cos!tfracpi3 =12+12=1
Vg =2picdota^33cdot1 =2pi a^33

Passo 9

(h) Região acima do plano z=2raiz3 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=16. Em cilindricas
Vh =2piintegralz=2raiz3^4(16-z^2),dz =2pil[16z-tfracz^33r]2raiz3^4
Avalia-se
l(64-tfrac643r)-l(32raiz3-tfrac(2raiz3)^33r) =1283-l(32raiz3-8raiz3r) =1283-24raiz3
Portanto
Vh =2pil(1283-24raiz3r) =256pi3-48raiz3,pi

Resposta

(a) pi a^33(raiz3-1)
(b) 4pi3(8-3raiz3)
(c) 5pi3
(d) 14pi3l(1-raiz22r)
(e) 8raiz2,pi3
(f) 64pi3
(g) 2pi a^33
(h) 256pi3-48raiz3,pi

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