Sabendo que
e^x=sumn=0^infty x^nn!, forall x in R,
calcule o valor da soma
sumn=0^infty(-1)^n 13^n cdot n!

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem que calcular a soma da série
sumn=0^infty(-1)^n,13^n,n!
O conteúdo aqui é série de potências e, em especial, a expansão em série de Taylor da função exponencial. Para resolver, vamos usar a fórmula
e^x ;=; sumn=0^inftyx^nn!, xinR

Passo 2

Primeiro, dá para simplificar o termo tfrac(-1)^n3^n. Repara que
(-1)^n3^n =l(-13r)^!n
Então a soma vira
sumn=0^infty(-1)^n,13^n,n! = sumn=0^inftyl(-tfrac13r)^nn!

Passo 3

Agora compare essa última expressão com a série de e^x:
e^x =sumn=0^inftyx^nn!
Basta notar que, na nossa série, x^n = l(-tfrac13r)^n. Ou seja, estamos avaliando e^x em
x = -tfrac13
Como a expansão de e^x converge para todo xinR, podemos substituir direto:
sumn=0^inftyl(-tfrac13r)^nn! ;=; e^-tfrac13

Resposta

e^-13

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