(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Aqui, estamos trabalhando com Equações Diferenciais, que envolvem derivadas de funções desconhecidas. Para resolver essa EDO, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifique a equação e facilite a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Percebemos que
aparece nos dois lados da equação, então podemos simplificar:
Passo 4
Agora, temos uma equação separável, onde as variáveis
e
estão separadas. Vamos escrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, resolvemos a integral do lado esquerdo:
Lembrando que:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calculando as integrais:
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Elevamos ambos os lados à potência
para encontrar
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é: