(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
y^prime=raiz[3]yx+yx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
y^prime = raiz[3]yx + yx
Aqui, estamos trabalhando com Equações Diferenciais, que envolvem derivadas de funções desconhecidas. Para resolver essa EDO, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifique a equação e facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
u = yx
Isso significa que:
y = u cdot x
Agora, vamos derivar y em relação a x :
y^prime = u + x cdot dudx

Passo 3

Substituímos y e y^prime na equação original:
u + x cdot dudx = raiz[3]u + u
Percebemos que u aparece nos dois lados da equação, então podemos simplificar:
x cdot dudx = raiz[3]u

Passo 4

Agora, temos uma equação separável, onde as variáveis u e x estão separadas. Vamos escrever a equação de forma que todos os termos com u fiquem de um lado e os termos com x fiquem do outro:
duraiz[3]u = dxx

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, resolvemos a integral do lado esquerdo:
integral u^-1/3 , du = integral 1x , dx
Lembrando que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Calculando as integrais:
32 u^2/3 = ln|x| + C
Agora, resolvemos para u^2/3 :
u^2/3 = 23 (ln|x| + C)

Passo 7

Elevamos ambos os lados à potência 3/2 para encontrar u :
u = ( 23 (ln|x| + C) )^3/2

Passo 8

Lembrando que u = yx , substituímos de volta para encontrar y :
yx = ( 23 (ln|x| + C) )^3/2
Multiplicando ambos os lados por x :
y = x ( 23 ln|x| + C )^3/2

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = x ( 23 ln|x| + C )^3/2

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