( 2,5 pontos) Resolva o pvi abaixo, utilizando o método da transformada de Laplace:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=10 \\ y(0)=0 ; \quad y^{\prime}(0)=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
\begin{cases} y'' + 2y' + 2y = 10,\\\ y(0)=0,\quad y'(0)=3, \end{cases}
e pede a solução usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em ambos os lados de \displaystyle y''+2y'+2y=10 obtemos
\mathcal{L}\{y''\}+2\,\mathcal{L}\{y'\}+2\,\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{10\} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(s^2Y(s)-3\bigr)+2\bigl(sY(s)\bigr)+2Y(s)=\frac{10}{s}.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) fica
(s^2+2s+2)\,Y(s)-3=\frac{10}{s} \quad\Longrightarrow\quad (s^2+2s+2)\,Y(s)=3+\frac{10}{s}.

Passo 4

Isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{3}{s^2+2s+2}+\frac{10}{s\,(s^2+2s+2)}.
Repare que
s^2+2s+2=(s+1)^2+1.

Passo 5

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{10}{s\bigl((s+1)^2+1\bigr)} =\frac{A}{s}+\frac{B(s+1)+C}{(s+1)^2+1}.
Igualando numeradores obtém-se A=5, B=-5, C=-5, logo
\frac{10}{s((s+1)^2+1)} =\frac{5}{s}-\frac{5(s+1)}{(s+1)^2+1}-\frac{5}{(s+1)^2+1}.

Passo 6

Substituindo em Y(s) resulta
Y(s)=\frac{5}{s}-\frac{5(s+1)}{(s+1)^2+1} -\frac{2}{(s+1)^2+1}.

Passo 7

Aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s+1}{(s+1)^2+1}\}=e^{-t}\cos t e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{(s+1)^2+1}\}=e^{-t}\sin t.

Passo 8

Obtemos finalmente
y(t)=5-5e^{-t}\cos t-2e^{-t}\sin t.

Resposta

y(t)=5-5e^{-t}\cos t-2e^{-t}\sin t

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