Resolva as seguintes EDOs e identifique eventuais termos transientes nas soluções.
x y^{\prime}-2 y=x^{3} \cos 4 x
(Sol. y=c x^{2}+\frac{1}{4} x^{2}(\sin 4 x) )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
x\,y' - 2\,y = x^{3}\cos(4x)
que é uma equação linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação em forma padrão
y' - \frac{2}{x}\,y = x^{2}\cos(4x).

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-2\ln x) = x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x):
x^{-2}y' - \frac{2}{x}\,x^{-2}y = x^{-2}\,x^{2}\cos(4x) \;\Longrightarrow\; (x^{-2}y)' = \cos(4x).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{-2}y = \int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x) + C.
Multiplicando por x^2, obtemos a solução geral
y = C\,x^2 + \frac{1}{4}\,x^2\sin(4x).

Passo 6

Na solução y = C\,x^2 + \tfrac{1}{4}x^2\sin(4x), o termo
y_h = C\,x^2
é a solução da homogênea e corresponde ao termo transitório (determinado pela condição inicial), enquanto
y_p = \frac{1}{4}x^2\sin(4x)
é a solução particular (regime permanente forçado).

Resposta

y = C\,x^2 + \frac{1}{4}\,x^2\sin(4x),
com termo transitório C\,x^2.

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