(3, 0 pontos) Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
g(x, y)=x^2 y+cos y+y sen x

Passo 1

Queremos todas as derivadas parciais de segunda ordem de g(x,y)=x^2 y + cos y + ysin x. Lembrando que ao calcular derivadas parciais tratamos a outra variável como constante. A estratégia é primeiro achar as de primeira ordem e depois derivar cada uma novamente em x e em y.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem de g. Tratando y como constante ao derivar em x, temos:
partial gpartial x = 2xy + ycos x
Tratando x como constante ao derivar em y, temos:
partial gpartial y = x^2 - sin y + sin x

Passo 3

A partir de partial gpartial x = 2xy + ycos x, derivamos em x (com y constante) para encontrar partial^2 gpartial x^2 e em y (com x constante) para encontrar partial^2 gpartial xpartial y.
partial^2 gpartial x^2 = 2y - ysin x
partial^2 gpartial x partial y = 2x + cos x

Passo 4

A partir de partial gpartial y = x^2 - sin y + sin x, derivamos em x (com y constante) para partial^2 gpartial y partial x e em y (com x constante) para partial^2 gpartial y^2.
partial^2 gpartial y partial x = 2x + cos x
partial^2 gpartial y^2 = -cos y

Resposta

gxx(x,y)=2y - ysin x, gxy(x,y)=2x + cos x, gyx(x,y)=2x + cos x, gyy(x,y)=-cos y.

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