Questão 4 (+2 pontos) O triângulo A B C, isósceles de base B C, é tal que B \hat{A} C=20^{\circ}. Marcamos pontos D \in A C e E \in A B tais que D \hat{B} C=60^{\circ} e E \hat{C} B=50^{\circ}. Calcule B \hat{D} E.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo ABC isósceles de base BC com \angle BAC=20^\circ. Logo
\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ.
Marcamos D\in AC com \angle DBC=60^\circ e E\in AB com \angle ECB=50^\circ. Queremos \angle BDE. Usaremos soma de ângulos, lei dos senos e cossenos.

Passo 2

Analisando o triângulo BDC:
\angle DBC=60^\circ, \angle DCB=\angle ACB=80^\circ, então
\angle BDC=180^\circ-(60^\circ+80^\circ)=40^\circ.
No triângulo BEC:
\angle ECB=50^\circ, \angle CBE=\angle ABC=80^\circ, então
\angle BEC=180^\circ-(50^\circ+80^\circ)=50^\circ.

Passo 3

Pela lei dos senos no triângulo BDC, tomando BC como unidade,
BD = BC\;\frac{\sin(80^\circ)}{\sin(40^\circ)}.
No triângulo BEC, como \angle ECB=\angle BEC=50^\circ, vem
BE=BC\;\frac{\sin(50^\circ)}{\sin(50^\circ)}=BC.

Passo 4

No vértice B, os raios BA e BE coincidem (pois E\in AB), e a bissetriz entre BC e BD satisfaz
\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=80^\circ-60^\circ=20^\circ.
Portanto o ângulo interior em B do triângulo BDE é
\angle DBE=\angle ABD=20^\circ.

Passo 5

No triângulo BDE usamos lei dos cossenos para DE:
DE^2 = BD^2 + BE^2 -2\,(BD)(BE)\cos(20^\circ).
Substituindo BD/BE=\sin80^\circ/\sin40^\circ e BE=BC, obtém-se um valor numérico de DE.
Em seguida, pela lei dos senos,
\frac{\sin(\angle BDE)}{BE} = \frac{\sin(\angle DBE)}{DE} \;\Longrightarrow\; \sin(\angle BDE) = \frac{BE}{DE}\,\sin(20^\circ).
Fazendo as contas chega-se a
\angle BDE=30^\circ.

Resposta

\displaystyle 30^\circ

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