(4 pontos) Um engenheiro de software de animação, ao criar uma figura 3D encontrou a seguinte relação entre os vetores \vec{w}=a_{1} \overrightarrow{A B}+a_{2} \vec{u}-a_{3} \vec{v}. Sabendo que \vec{w}=(-1,3,4), A=(1,2,0), B=(2,3,0) \vec{u}=(-1,0,2) e \vec{v}=(-3,-1,0). Para avaliar a veracidade da equação, quais os valores de a_{1}, a_{2} e a_{3} ?

Passo 1

O enunciado dá a relação
\vec{w} = a_{1}\,\overrightarrow{AB} + a_{2}\,\vec{u} - a_{3}\,\vec{v}
com \vec{w}=(-1,3,4), A=(1,2,0), B=(2,3,0), \vec{u}=(-1,0,2) e \vec{v}=(-3,-1,0).
O conteúdo aqui é decomposição de vetor em combinação linear de outros vetores, o que leva a um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, calculamos
\overrightarrow{AB} = B - A = (2,3,0) - (1,2,0) = (1,1,0).
Então a combinação fica
a_{1}(1,1,0) \;+\; a_{2}(-1,0,2)\;-\;a_{3}(-3,-1,0).
Somando componente a componente obtemos
\bigl(a_{1}-a_{2}+3a_{3},\;a_{1}+a_{3},\;2a_{2}\bigr).

Passo 3

Igualando essa soma a \vec{w}=(-1,3,4) formamos o sistema
\begin{cases} a_{1} - a_{2} + 3a_{3} = -1,\\\ a_{1} + a_{3} = 3,\\\\ 2a_{2} = 4. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação vem
a_{2} = 2.
Da segunda equação
a_{1} = 3 - a_{3}.
Substituindo em a_{1}-a_{2}+3a_{3}=-1:
(3 - a_{3}) - 2 + 3a_{3} = -1 \;\Longrightarrow\; 1 + 2a_{3} = -1 \;\Longrightarrow\; a_{3} = -1.
Finalmente
a_{1} = 3 - (-1) = 4.

Resposta

\,a_{1}=4,\quad a_{2}=2,\quad a_{3}=-1

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