Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
4 x^{2}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
4x^{2}+y^{2}=1
e pede para identificar a curva cônica, encontrar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico. O conteúdo aqui é elipse em forma canônica.

Passo 2

Para pôr em forma padrão, dividimos ambos os lados por 1:
\frac{4x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{1}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{\tfrac{1}{4}}+\frac{y^{2}}{1}=1.
Como o maior denominador é 1 sob y^{2}, temos a^{2}=1 e b^{2}=\tfrac{1}{4}. Logo é uma elipse com eixo maior ao longo do eixo y.

Passo 3

O centro da elipse está na origem:
\text{Centro}=(0,0).
Os semi-eixos são
a=\sqrt{a^{2}}=\sqrt{1}=1, \quad b=\sqrt{b^{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac12.

Passo 4

Os vértices no eixo maior ( y) estão em
(0,\pm a)=(0,\pm1).
Os co-vértices no eixo menor ( x) estão em
(\pm b,0)=\bigl(\pm\tfrac12,0\bigr).

Passo 5

Para achar os focos calculamos
c^{2}=a^{2}-b^{2}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}, \quad c=\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Os focos ficam em
(0,\pm c)=\Bigl(0,\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,866.

Passo 6

O esboço é uma elipse centrada na origem, mais “esticada” verticalmente, atravessando y=\pm1 e x=\pm\tfrac12, com focos em \bigl(0,\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).

Resposta

Tipo de cônica: elipse
Centro: (0,0)
Vértices: (0,1), (0,-1)
Co-vértices: (\tfrac12,0), (-\tfrac12,0)
Focos: \bigl(0,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr), \bigl(0,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)
Excentricidade: \tfrac{\sqrt{3}}{2}

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