(4 pontos) Um proprietário pretende calcular a área de um lote triangular, mas sua única referência é que seu lote pode ser determinado pelos vetores 2 \vec{u} e(\vec{u}+\vec{v}). Dado que \vec{u}=(1,3,2) e \vec{v}=(0,2,1), qual a área desse lote?

Passo 1

O enunciado diz que o lote é um triângulo cujos lados, a partir de uma mesma origem, são dados pelos vetores 2\vec{u} e \vec{u}+\vec{v}. O conteúdo envolvido é geometria vetorial: usaremos produto vetorial para encontrar a área do paralelogramo e depois dividir por 2, pois é um triângulo.

Passo 2

Primeiro calculamos explicitamente os vetores que formam os lados do triângulo. Como \vec{u}=(1,3,2) e \vec{v}=(0,2,1), definimos
\vec{a} = 2\vec{u} = (2,6,4),
\vec{b} = \vec{u} + \vec{v} = (1,5,3).

Passo 3

Sabemos que a área de um triângulo formado por \vec{a} e \vec{b} é
\text{Área} = \frac{1}{2}\,\bigl\|\vec{a}\times\vec{b}\bigr\|.Á
Isso vale porque \|\vec{a}\times\vec{b}\| dá a área do paralelogramo gerado por \vec{a} e \vec{b}, e o triângulo ocupa metade dessa área.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial usando o determinante:
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 6 & 4\\\\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix} = (-2,\,-2,\,4).

Passo 5

Agora obtemos a norma desse vetor:
\bigl\|\vec{a}\times\vec{b}\bigr\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.

Passo 6

Finalmente, a área do triângulo é metade dessa norma:
\text{Área} = \frac{1}{2}\times 2\sqrt{6} = \sqrt{6}.Á

Resposta

\sqrt{6}

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