(4 pontos) Um perito em engenharia civil, ao avaliar a estrutura de um prédio, precisava verificar se os vetores \vec{u}=(x,-3,-1) e \vec{v}=(2,5,-3 x) são perpendiculares. Qual o valor de x para que a estrutura avaliada esteja no esquadro?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
\vec{u}=(x,\,-3,\,-1) e \vec{v}=(2,\,5,\,-3x)
e pergunta qual valor de x faz com que eles sejam perpendiculares (estrutura “no esquadro”). O conteúdo aqui é produto escalar e a condição de perpendicularidade:
\vec{u}\cdot\vec{v}=0.

Passo 2

Lembrando que o produto escalar de \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
aplicamos isso a \vec{u} e \vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v} = x\cdot 2 + (-3)\cdot 5 + (-1)\cdot(-3x).

Passo 3

Agora simplificamos e montamos a equação para x:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2x - 15 + 3x = 0
5x - 15 = 0
5x = 15
x = 3.

Resposta

x = 3

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