Questão 2) Seja f(x)=\ln x.
a) Ache a área delimitada pelo gráfico da função f(x) pela reta x=e^{2} e o eixo O x.
b) Ache o volume do solido gerado em torno do eixo O x, nas condições do item a).
c) Ache o volume do solido gerado em torno do eixo O y, nas condições do item a).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln x e pede, no intervalo em que a curva intercepta o eixo O x até x=e^2,
– em (a) a área sob o gráfico e sobre o eixo O x,
– em (b) o volume de revolução desse mesmo recinto em torno do eixo O x,
– em (c) o volume de revolução em torno do eixo O y.
Para a área vamos usar integração direta; para o volume em (b) usamos o método dos discos (fórmula de Cavalieri) e para o volume em (c) usamos o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

A curva y=\ln x intercepta o eixo O x quando \ln x=0, isto é, em x=1. A área pedida é
A=\int_{1}^{e^2}\ln x\,dx.
Fazemos integração por partes escolhendo
u=\ln x,\quad dv=dx\quad\implies\quad du=\frac{1}{x}dx,\quad v=x.
Logo
\int\ln x\,dx = x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C.
Aplicando de 1 a e^2,
A=\bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{e^2} = \bigl(e^2\cdot 2 - e^2\bigr)\;-\;(1\cdot0 -1) = e^2 + 1.

Passo 3

Para o volume em torno de O x usamos discos de raio y=\ln x. A fórmula é
V_x =\pi\int_{1}^{e^2}(\ln x)^2\,dx.
Fazemos a substituição t=\ln x, dx=e^t dt. Quando x=1 vem t=0, e quando x=e^2 vem t=2. Assim
V_x =\pi\int_{0}^{2}t^2 e^t\,dt.
Calculemos
\int_{0}^{2}t^2 e^t\,dt =\bigl[t^2 e^t\bigr]_{0}^{2} -2\int_{0}^{2}t e^t\,dt =4e^2 -2\bigl[(2e^2 - (e^2-1))\bigr] =2e^2 -2.
Portanto
V_x =\pi\bigl(2e^2-2\bigr) =2\pi\bigl(e^2-1\bigr).

Passo 4

Para o volume em torno de O y usamos o método das cascas: cada casca em x tem raio x, altura \ln x e espessura dx. Logo
V_y =2\pi\int_{1}^{e^2}x\ln x\,dx.
Fazemos partes com
u=\ln x,\quad dv=x\,dx \quad\implies\quad du=\frac{1}{x}dx,\quad v=\frac{x^2}{2}.
Assim
\int x\ln x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}+C.
De 1 a e^2 obtemos
\int_{1}^{e^2}x\ln x\,dx =\Bigl[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\Bigr]_{1}^{e^2} =\Bigl(\frac{e^4}{2}\cdot2-\frac{e^4}{4}\Bigr) -\Bigl(0-\frac{1}{4}\Bigr) =\frac{3e^4+1}{4}.
Multiplicando por 2\pi,
V_y =2\pi\cdot\frac{3e^4+1}{4} =\frac{\pi\,(3e^4+1)}{2}.

Resposta

(a) e^2 + 1
(b) 2\pi\bigl(e^2 - 1\bigr)
(c) \displaystyle \frac{\pi\,(3e^4+1)}{2}

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