Questão 2) Seja
.
a) Ache a área delimitada pelo gráfico da função
pela reta
e o eixo
.
b) Ache o volume do solido gerado em torno do eixo
, nas condições do item a).
c) Ache o volume do solido gerado em torno do eixo
, nas condições do item a).
a) Ache a área delimitada pelo gráfico da função
b) Ache o volume do solido gerado em torno do eixo
c) Ache o volume do solido gerado em torno do eixo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, no intervalo em que a curva intercepta o eixo
até
,
– em (a) a área sob o gráfico e sobre o eixo ,
– em (b) o volume de revolução desse mesmo recinto em torno do eixo ,
– em (c) o volume de revolução em torno do eixo .
Para a área vamos usar integração direta; para o volume em (b) usamos o método dos discos (fórmula de Cavalieri) e para o volume em (c) usamos o método das cascas cilíndricas.
– em (a) a área sob o gráfico e sobre o eixo
– em (b) o volume de revolução desse mesmo recinto em torno do eixo
– em (c) o volume de revolução em torno do eixo
Para a área vamos usar integração direta; para o volume em (b) usamos o método dos discos (fórmula de Cavalieri) e para o volume em (c) usamos o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
A curva
intercepta o eixo
quando
, isto é, em
. A área pedida é
Fazemos integração por partes escolhendo
Logo
Aplicando de
a
,
Passo 3
Para o volume em torno de
usamos discos de raio
. A fórmula é
Fazemos a substituição
,
. Quando
vem
, e quando
vem
. Assim
Calculemos
Portanto
Passo 4
Para o volume em torno de
usamos o método das cascas: cada casca em
tem raio
, altura
e espessura
. Logo
Fazemos partes com
Assim
De
a
obtemos
Multiplicando por
,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)