(2,5 pontos) Esboce a região B delimitada pelas curvas x^2+y^2=2 x, y=0 e y=raiz33 x. Usando integral dupla, calcule a área de B.
Boa Prova!

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região B limitada pelas curvas x^2 + y^2 = 2x, y=0 e y=tfracraiz33x. O conteúdo envolvido é cálculo de área por integral dupla e vamos usar coordenadas polares para simplificar, já que a equação x^2+y^2=2x representa uma circunferência.

Passo 2

Reescrevemos a circunferência em coordenadas polares usando x=rcostheta e y=rsintheta. Temos

Passo 3

r^2 = 2rcostheta Longrightarrow r = 2costheta,

Passo 4

onde r=2costheta é a fronteira externa em r.

Passo 5

Determinamos os limites angulares a partir das retas: • Para y=0, temos theta=0. • Para y=tfracraiz33x, temos tantheta = tfracraiz33, ou seja theta=pi/6.

Passo 6

Montamos a integral de área em coordenadas polares:

Passo 7

A = integraltheta=0^pi/6 integralr=0^2costheta r,dr,dtheta

Passo 8

Calculamos primeiro a integral em r:

Passo 9

integral0^2costheta r,dr = (2costheta)^22 = 2cos^2theta

Passo 10

Assim a área fica

Passo 11

A = integral0^pi/6 2cos^2theta,dtheta

Passo 12

Usamos a identidade cos^2theta = tfrac1+cos2theta2 para integrar:

Passo 13

A = 2 integral0^pi/6 1+cos2theta2 ,dtheta = integral0^pi/6 (1+cos2theta),dtheta

Passo 14

Calculamos a integral em theta:

Passo 15

integral0^pi/6 (1+cos2theta),dtheta = l[theta + tfrac12sin2thetar]0^pi/6 = pi6 + 12sinpi3

Resposta

A = pi6 + raiz34

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