Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Abaixo do plano
e acima do disco com círculo limite
Abaixo do plano
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do plano
e acima do disco no plano
dado por
O conteúdo é cálculo de volume por integração dupla e vamos usar coordenadas polares para transformar a integral sobre o disco.
Passo 2
Expressamos o plano como função
em termos de
:
Como o sólido fica acima de
, a “altura” em cada ponto
do disco é justamente
Em coordenadas polares,
,
, o disco vira
,
, e o elemento de área é
.
Passo 3
O volume é
que em polares fica
Para simplificar, note que o integrando é
Passo 4
Separamos em duas integrais:
Calculamos as integrais em
:
Logo
Mas
e
,
portanto a segunda parte vale zero.
portanto a segunda parte vale zero.
Passo 5
Fica assim