Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Abaixo do plano x+4 y+z=12 e acima do disco com círculo limite x^2+y^2=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do plano
x + 4y + z = 12
e acima do disco no plano z=0 dado por
x^2 + y^2 <= 4
O conteúdo é cálculo de volume por integração dupla e vamos usar coordenadas polares para transformar a integral sobre o disco.

Passo 2

Expressamos o plano como função z em termos de x,y:
z = 12 - x - 4y
Como o sólido fica acima de z=0, a “altura” em cada ponto (x,y) do disco é justamente
H(x,y) = 12 - x - 4y
Em coordenadas polares, x = rcostheta, y=rsintheta, o disco vira 0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi, e o elemento de área é dA = r,dr,dtheta.

Passo 3

O volume é
V = integral duplaD l(12 - x - 4yr),dA
que em polares fica
V = integral0^2pi!integral0^2 l(12 - rcostheta - 4rsinthetar);r,dr,dtheta
Para simplificar, note que o integrando é
(12),r ;-; r^2l(costheta + 4sinthetar)

Passo 4

Separamos em duas integrais:
V = integral0^2pi!integral0^212r,dr,dtheta ;-;integral0^2pi!integral0^2r^2l(costheta + 4sinthetar),dr,dtheta
Calculamos as integrais em r:
integral0^212r,dr = 12cdot2^22 = 24, integral0^2r^2,dr = 2^33 = 83
Logo
V = integral0^2pi24,dtheta ;-;83integral0^2pil(costheta+4sinthetar),dtheta
Mas
integral0^2picostheta,dtheta=0 e
integral0^2pisintheta,dtheta=0,
portanto a segunda parte vale zero.

Passo 5

Fica assim
V = integral0^2pi24,dtheta = 24cdot 2pi = 48pi

Resposta

V = 48pi

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