( 2 pontos - escolha um) Defina concisamente o seguinte lugare geométrico e deduza a equação na forma canônica identificando seus elementos (focos, diretriz, centro, vértice,…).
Parábola.

Passo 1

O enunciado pede a definição do lugar geométrico chamado parábola e a dedução de sua equação na forma canônica, identificando seus elementos (vértice, foco, diretriz, centro, etc.). O conteúdo envolve seções cônicas e usaremos a definição de parábola como o conjunto de pontos cujo a distância a um ponto fixo (foco) é igual à distância a uma reta fixa (diretriz), junto com a fórmula da distância no plano cartesiano.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que:
– o vértice fique na origem (0,0),
– o foco seja o ponto (p,0) com p>0,
– a diretriz seja a reta vertical x=-p.
Para um ponto genérico (x,y) da parábola, a distância ao foco é
\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}
e a distância à diretriz é
|x-(-p)|=|x+p|.
Pela definição de parábola, igualamos essas distâncias:
\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}=x+p.
Elevando ao quadrado e simplificando:
(x-p)^{2}+y^{2}=(x+p)^{2}
x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}=x^{2}+2px+p^{2}
y^{2}=4px.
Essa é a equação canônica da parábola com eixo no sentido positivo de x.

Passo 3

Agora identificamos os elementos da parábola \displaystyle y^{2}=4px:
– vértice: (0,0)
– foco: (p,0)
– diretriz: reta x=-p
– eixo de simetria: eixo x
– centro: não existe (conjunto não possui centro)
– parâmetro (distância vértice–foco): p

Resposta

Equação canônica:
y^{2}=4px
Elementos:
Vértice: (0,0)
Foco: (p,0)
Diretriz: x=-p
Eixo de simetria: eixo x
Centro: não existe
Parâmetro: p

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