Questão 1: ( 2,5 pontos) A medida em radianos do ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \frac{\pi}{3}. Sendo \|\vec{u}\|=1,\|\vec{v}\|=7, calcule \left\|\frac{1}{3} \vec{u} \wedge \frac{3}{5} \vec{v}\right\|.

Passo 1

O enunciado fornece dois vetores \vec{u} e \vec{v} cujo ângulo é \pi/3, com \|\vec{u}\|=1 e \|\vec{v}\|=7, e pede a norma de \frac{1}{3}\vec{u}\wedge\frac{3}{5}\vec{v}. O conteúdo aqui é produto vetorial e propriedades de norma.

Passo 2

Usamos a propriedade de escalares no produto vetorial:
\Bigl\|\tfrac{1}{3}\vec{u}\wedge\tfrac{3}{5}\vec{v}\Bigr\| =\Bigl|\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{5}\Bigr|\;\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| =\tfrac{1}{5}\,\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|.

Passo 3

Calculamos \|\vec{u}\wedge\vec{v}\| pela fórmula geométrica
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| =\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin(\pi/3) =1\cdot7\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} =\tfrac{7\sqrt3}{2}.

Passo 4

Substituindo em \tfrac{1}{5}\,\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| obtemos
\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{7\sqrt3}{2} =\tfrac{7\sqrt3}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{7\sqrt3}{10}

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