(3 pontos) Identifique a cônica pelo processo de diagonalização por matriz ortogonal. Calcule os focos, o centro, os vértices e as retas assíntotas. Faça um esboço do gráfico (no sistema de coordenadas original) descrevendo a(s) mudança(s) de coordenadas utilizada(s).
а) 13 x^{2}+6 x y+21 y^{2}+34 x-114 y+73=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
13x^2+6xy+21y^2+34x-114y+73=0
e pede classificação, centro, focos, vértices e retas assíntotas por diagonalização ortogonal. Vamos precisar usar: definição de centro via gradiente nulo, tradução de coordenadas, diagonalização de forma quadrática com matriz simétrica, identificação de eixos principais e cálculo de parâmetros de uma elipse.\n

Passo 2

Para achar o centro, igualamos a zero as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial x}(13x^2+6xy+21y^2+34x-114y+73)=26x+6y+34=0,
\frac{\partial}{\partial y}(13x^2+6xy+21y^2+34x-114y+73)=6x+42y-114=0.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 26x+6y+34=0,\\\\ 6x+42y-114=0, \end{cases}
obtemos x=-2, y=3. Logo o centro é (-2,3).\n

Passo 3

Trazemos o centro para a origem definindo
u = x+2,\quad v = y-3.
Substituindo na equação e simplificando, chega-se a
13u^2+6uv+21v^2-132=0
ou seja
13u^2+6uv+21v^2=132.\n

Passo 4

A forma quadrática associada é
\begin{pmatrix}u & v\end{pmatrix} \begin{pmatrix}13 & 3\\\ 3 & 21\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}=132.
Os autovalores de \begin{pmatrix}13 & 3\\\ 3 & 21\end{pmatrix} são
\lambda_1=22,\quad \lambda_2=12.
Os autovetores correspondentes são
\text{para }\lambda_1:\;(1,3), \quad \text{para }\lambda_2:\;(3,-1).
Isso significa que ao rotacionar os eixos de (u,v) em torno da origem alinhamos‐os com essas direções.\n

Passo 5

Nas coordenadas principais (U,V) a equação diagonaliza para
22\,U^2+12\,V^2=132,
que é
\frac{U^2}{132/22}+\frac{V^2}{132/12}=1 \;\Longrightarrow\; \frac{U^2}{6}+\frac{V^2}{11}=1.
Portanto trata‐se de uma elipse com semieixo maior a=\sqrt{11} e semieixo menor b=\sqrt{6}, orientada segundo o autovetor (3,-1) para o eixo maior.\n

Passo 6

O centro é (-2,3). Os vértices principais são o centro mais ou menos a na direção unitária de (3,-1), isto é
V_{1,2}:\;(-2,3)\pm\sqrt{11}\,\frac{(3,-1)}{\sqrt{10}} = (-2,3)\pm\bigl(3\sqrt{\tfrac{11}{10}},-\sqrt{\tfrac{11}{10}}\bigr).
Os focos estão a distância c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{11-6}=\sqrt5 do centro ao longo do mesmo eixo:
F_{1,2}:\;(-2,3)\pm\sqrt5\,\frac{(3,-1)}{\sqrt{10}} = (-2,3)\pm\bigl(\tfrac{3}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).\n

Passo 7

Como é elipse ( B^2-4AC<0), não há retas assíntotas.\n

Passo 8

Para esboçar no sistema original, primeiro deslocamos o centro até (-2,3), depois rotacionamos os eixos de \theta=\arctan(-\tfrac13)\approx-18,4^\circ de modo que o eixo maior fique alinhado com o vetor (3,-1). Sobre esse esqueleto desenhamos a elipse de semieixos \sqrt{11} e \sqrt{6}, depois invertemos a rotação e o deslocamento.\n

Resposta

Classificação: elipse.
Centro: (-2,3).
Semieixos: a=\sqrt{11} (eixo maior), b=\sqrt{6} (eixo menor).
Vértices:
(-2,3)\pm\bigl(3\sqrt{\tfrac{11}{10}},-\sqrt{\tfrac{11}{10}}\bigr).
Focos:
(-2,3)\pm\bigl(\tfrac{3}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).
Retas assíntotas: nenhuma.

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