(3 pontos) Identifique a cônica pelo processo de diagonalização por matriz ortogonal. Calcule os focos, o centro, os vértices e as retas assíntotas. Faça um esboço do gráfico (no sistema de coordenadas original) descrevendo a(s) mudança(s) de coordenadas utilizada(s).
а) 13 x^{2}+6 x y+21 y^{2}+34 x-114 y+73=0;
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
13x^2+6xy+21y^2+34x-114y+73=0
e pede classificação, centro, focos, vértices e retas assíntotas por diagonalização ortogonal. Vamos precisar usar: definição de centro via gradiente nulo, tradução de coordenadas, diagonalização de forma quadrática com matriz simétrica, identificação de eixos principais e cálculo de parâmetros de uma elipse.\n
Passo 2
Para achar o centro, igualamos a zero as derivadas parciais:
Como é elipse (B^2-4AC<0), não há retas assíntotas.\n
Passo 8
Para esboçar no sistema original, primeiro deslocamos o centro até (-2,3), depois rotacionamos os eixos de \theta=\arctan(-\tfrac13)\approx-18,4^\circ de modo que o eixo maior fique alinhado com o vetor (3,-1). Sobre esse esqueleto desenhamos a elipse de semieixos \sqrt{11} e \sqrt{6}, depois invertemos a rotação e o deslocamento.\n