(… pont os )
(a) Mostre que
tem exatamente uma raiz no intervalo
.
(b) Determine, usando o método de Newton-Raphson, uma aproximação para o zero de
no intervalo
, com erro inferior a
. (use arredondamento e 5 casas decimais)
(c) Se fosse usado o método da bisseção, qual seria a quantidade mínima de iterações necessárias para obter uma aproximação de acordo a aproximação, função e intervalo dados no item (b)?
(a) Mostre que
(b) Determine, usando o método de Newton-Raphson, uma aproximação para o zero de
(c) Se fosse usado o método da bisseção, qual seria a quantidade mínima de iterações necessárias para obter uma aproximação de acordo a aproximação, função e intervalo dados no item (b)?
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
. As perguntas são:
- (a) Mostrar que
tem exatamente uma raiz em . - (b) Usar o método de Newton-Raphson para obter uma aproximação do zero de
no intervalo com erro inferior a , usando arredondamento a 5 casas decimais em cada iteração. - (c) Calcular quantas iterações mínimas o método da bisseção exigiria para obter uma aproximação com o mesmo erro pedido no item (b).
Informações relevantes dadas:
e instrução de usar arredondamento a 5 casas decimais nas iterações de Newton.
Passo 2
(a) Mostrar existência e unicidade da raiz em
.
Primeiro verifico os valores nas extremidades do intervalo:
Como
e
, pela propriedade do valor intermédio (Teorema do Valor Intermediário) existe pelo menos uma raiz
tal que
.
Para mostrar que a raiz é única, estudo a derivada:
Em todo o intervalo
temos
, logo
e portanto
Como
é estritamente negativa em
,
é estritamente decrescente nesse intervalo. Uma função estritamente monotónica só pode cortar o eixo
uma vez; portanto a raiz em
é única.
Passo 3
(b) Apresentação do método de Newton-Raphson e critérios de parada.
O método de Newton busca uma raiz de
através da iteração
Ideia (intuitionzinha): substituímos
por sua aproximação afim (reta tangent e) em
e tomamos a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação. Para aplicar o método precisamos de
; já vimos que em
é negativo, então não há problema.
Critérios de parada pedidos: queremos garantir que tanto a diferença entre iterações quanto o valor da função sejam menores que
, ou seja:
Além disso o enunciado pede que a cada iteração os valores sejam arredondados a 5 casas decimais — portanto, após calcular
eu vou arredondá-lo a 5 casas decimais e usar esse valor arredondado na iteração seguinte e nas verificações de parada (isso é o que o enunciado instrui).
Escolho como chute inicial
(ponto médio de
), que está no intervalo pedido.
Vou calcular passo a passo, sempre arredondando cada
a 5 casas decimais antes de usar na iteração seguinte. Mostro também os cálculos intermediários de
e
com precisão suficiente para justificar os arredondamentos.
Passo 4
Iteração 1:
Usando .
Usando
Calculo
e
:
Aplicando Newton:
Arredondando a 5 casas decimais:
Passo 5
Iteração 2:
Usando (arredondado).
Usando
Calculo
e
. Para maior exatidão uso a representação exata
quando possível, mas mantenho coerência com o arredondamento apresentado:
Avaliação numérica (mostrando os termos principais):
Logo
(Se usarmos
exato teríamos
, então essa ordem de grandeza está correta.)
Calculo
:
Aplicando Newton (usando valores numéricos com precisão suficiente antes de arredondar o novo
):
Arredondando a 5 casas decimais:
Passo 6
Verificação após a iteração 2:
Calculo a diferença entre iterações (usando os valores arredondados):
Calculo a diferença entre iterações (usando os valores arredondados):
portanto ainda não atingimos a condição
.
Calculo o valor da função em
(cálculo exato com inteiros para máxima precisão):
escrevendo , temos
escrevendo
Logo
ou seja
. Portanto a condição
já está satisfeita em
, mas a condição sobre a diferença entre iterações ainda não.
Passo 7
Iteração 3:
Uso (arredondado). Faço um passo de Newton:
Uso
Avalio
e
com os valores já calculados:
para
uso
e
(pois
e dividido por
dá
), então
Aplicando Newton (valores não arredondados para o cálculo intermédio, depois arredondo o resultado):
Arredondando a 5 casas decimais:
Passo 8
Verificação das condições de parada (usando os valores arredondados a 5 casas decimais, conforme instruído):
Diferença entre iterações (arredondadas):
Valor da função no último aproximado
:
Assim ambas as condições
e
ficam satisfeitas após a terceira iteração (ou seja, depois de calcular
). A aproximação obtida com arredondamento a 5 casas decimais é
Observação prática e motivacional: apesar dos poucos passos, é normal ver rápidas convergências com Newton quando a derivada não anula e a inicial está razoavelmente perto. Respira fundo — deu certo!
Passo 9
(c) Número mínimo de iterações do método da bisseção para a mesma tolerância.
No método da bisseção, após
iterações o comprimento do intervalo é
Se tomarmos o ponto médio como aproximação, o erro máximo possível (distância entre o ponto médio e a raiz) é metade desse comprimento, isto é
Queremos esse erro máximo menor ou igual a
. Assim exigimos
No nosso caso
, então
Tomando logaritmo em base 2:
portanto
Como
é inteiro, o número mínimo de iterações é
Conclusão: são necessárias no mínimo 13 iterações do método da bisseção para garantir erro
sobre
.
Resposta
(a) Existe exatamente uma raiz em
.
(b) Aproximação pelo método de Newton com arredondamento a 5 casas decimais: (obtida após 3 iterações).
(c) Método da bisseção: mínimo de iterações.
(b) Aproximação pelo método de Newton com arredondamento a 5 casas decimais:
(c) Método da bisseção: mínimo de