(1.5 pontos)Escreva a função f(x)=arctg(raizx) em série de potência (considerando no mínimo 4 termos e o n-ésimo termo).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a função f(x) = arctan(raizx) como uma série de potência, mostrando pelo menos 4 termos e a fórmula do termo geral. Vamos usar conceitos de séries de Taylor e a série conhecida da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potência da função arco-tangente. A série de Taylor de arctan(z) centrada em 0 é:
arctan(z) = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 z^2n+1
Isso significa que podemos expandir arctan(z) como uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de z .

Passo 3

Agora, queremos a série para arctan(raizx) . Para isso, substituímos z por raizx na série acima:
arctan(raizx) = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 (raizx)^2n+1

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Note que (raizx)^2n+1 = x^n + 12 . Então, a série fica:
arctan(raizx) = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 x^n + 12
Isso nos dá a série de potência com termos envolvendo x elevado a potências fracionárias.

Passo 5

Agora, vamos escrever os primeiros 4 termos dessa série para visualizar melhor:
arctan(raizx) = x^12 - x^323 + x^525 - x^727 + cdots
Cada termo alterna de sinal e o denominador aumenta de 2 em 2, enquanto a potência de x aumenta em 1 unidade de exponente fracionário.

Resposta

A série de potência de f(x) = arctan(raizx) é dada por:
arctan(raizx) = raizx - x^323 + x^525 - x^727 + cdots + (-1)^n2n + 1 x^n + 12 + cdots

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