(1.5 pontos)Escreva a função
em série de potência (considerando no mínimo 4 termos e o n-ésimo termo).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a função
como uma série de potência, mostrando pelo menos 4 termos e a fórmula do termo geral. Vamos usar conceitos de séries de Taylor e a série conhecida da função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potência da função arco-tangente. A série de Taylor de
centrada em 0 é:
Isso significa que podemos expandir
como uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de
.
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Para isso, substituímos
por
na série acima:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Note que
. Então, a série fica:
Isso nos dá a série de potência com termos envolvendo
elevado a potências fracionárias.
Passo 5
Agora, vamos escrever os primeiros 4 termos dessa série para visualizar melhor:
Cada termo alterna de sinal e o denominador aumenta de 2 em 2, enquanto a potência de
aumenta em 1 unidade de exponente fracionário.
Resposta
A série de potência de
é dada por: