(1.5 pontos) Para quais valores de x a série abaixo converge?
sumn=0^infty n(x+3)^n4^n+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: Para quais valores de x a série abaixo converge?
sumn=0^infty n(x+3)^n4^n+2
Aqui, o assunto envolve séries infinitas e convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores a série vai somar a um número finito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação do teste. Observe que podemos reescrever 4^n+2 como 4^n cdot 4^2 = 16 cdot 4^n . Assim, a série fica:
sumn=0^infty n(x+3)^n16 cdot 4^n = 116 sumn=0^infty n ( x+34 )^n

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para a série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , a série diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Para a nossa série, . Vamos calcular :

Passo 5

Simplificando o limite:
L = limn to infty | n+1n cdot x+34 | = limn to infty (1 + 1n) cdot | x+34 | = 1 cdot | x+34 | = | x+34 |

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que L < 1 :
| x+34 | < 1
Isso nos dá a seguinte desigualdade:
-1 < x+34 < 1

Passo 7

Resolvendo a desigualdade:
-1 < x+34 < 1
Multiplicando todos os lados por 4:
-4 < x + 3 < 4
Subtraindo 3 de todas as partes:
-7 < x < 1

Resposta

A série converge para todos os valores de x que satisfazem -7 < x < 1.

Exercícios relacionados