(2.5 pontos) Obtenha a aproximação de integral0^1 cos (x^3) d x com 4 casas decimais através das séries de MacLaurin.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
integral0^1cosl(x^3r),dx
com 4 casas decimais usando séries de Maclaurin. Vamos precisar da série de Taylor (Maclaurin) de cos t e do critério de erro da série alternada para decidir até que termo calcular.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos t é
cos t = sumk=0^infty(-1)^k,t^2k(2k)!
Fazendo t=x^3 obtemos
cosl(x^3r) = sumk=0^infty(-1)^k,x^6k(2k)!

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1cosl(x^3r),dx = sumk=0^infty(-1)^k,1(2k)!,(6k+1)
É uma série alternada, cujo erro ao truncar no termo k=N é limitado pelo valor absoluto do próximo termo, k=N+1.

Passo 4

Calculamos os primeiros termos da soma parcial SN=sumk=0^N(-1)^k/l((2k)!(6k+1)r):
T0&=10!cdot1=1, T1&=-12!cdot7=-114approx -0,07142857, T2&=14!cdot13=1312approx 0,00320513, T3&=-16!cdot19=-113680approx -0,00007307
Soma parcial até k=3:
S3 =1-0,07142857+0,00320513-0,00007307 approx0,93170349

Passo 5

O próximo termo é
T4 =18!cdot25 =140320cdot25 approx9,92times10^-7
Como T4<5times10^-5, já garantimos erro menor que 0,00005, suficiente para 4 casas decimais.

Resposta

integral0^1cosl(x^3r),dx approx0,9317

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