( 2,0 pontos) Uma esfera de alumínio com 6 kg e inicialmente a uma temperatura de 300^{\circ} \mathrm{C} é subitamente imerso em um fluido a 20^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferéncia de calor por conveçăo é de h=58 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. Estime o tempo necessário para resfriar o aluminio a 90^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Temos uma esfera de alumínio de massa m=6 kg inicialmente a T_i=300{}^\circ\mathrm{C} imersa num fluido a T_\infty=20{}^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h=58,W/ m^{2} \cdot\circC. O objetivo é estimar o tempo para a esfera atingir T=90{}^\circ\mathrm{C}. Vamos usar o método de capacitância concentrada (modelo lumped), válido se o número de Biot for pequeno.

Passo 2

Calculamos o volume e o raio da esfera. A densidade do alumínio é \rho=2700,kg/ m^{3}, logo
V = \frac{m}{\rho} = \frac{6}{2700} = 0{,}002222\\ \mathrm{m}^3.
Como V = \tfrac{4}{3}\pi R^3, temos
R = \Bigl(\frac{3V}{4\pi}\Bigr)^{1/3} = \Bigl(\frac{3\cdot0{,}002222}{4\pi}\Bigr)^{1/3} \approx0{,}0813\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Verificamos o número de Biot para checar a validade do modelo lumped. O comprimento característico é
L_c = \frac{V}{A} = \frac{R}{3},
onde A=4\pi R^2. Com condutividade térmica do alumínio k\approx205,W/ m\cdot K,
\mathrm{Bi} = \frac{h\,L_c}{k} = \frac{58\,(R/3)}{205} \approx0{,}0076 \ll 0{,}1.
Como \mathrm{Bi}\ll0{,}1, o modelo lumped é aplicável.

Passo 4

No modelo lumped a equação de resfriamento é
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = \exp\!\bigl(-\frac{h\,A}{\rho\,c\,V}\,t\bigr),
sendo c\approx900,J/k g\cdot K o calor específico do alumínio. Reescrevendo para t:
t = -\frac{\rho\,c\,V}{h\,A}\,\ln\!\Bigl(\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\Bigr).

Passo 5

Calculamos A, o coeficiente \rho c V e substituímos:
A = 4\pi R^2 = 4\pi (0{,}0813)^2 \approx0{,}0831\\ \mathrm{m}^2,
\rho\,c\,V = 2700\cdot900\cdot0{,}002222 \approx5400\\ \mathrm{J/K},
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = \frac{90-20}{300-20} = \frac{70}{280} = 0{,}25,
t = -\frac{5400}{58\cdot0{,}0831}\,\ln(0{,}25) \approx1120\cdot1{,}386 \approx1550\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos, t\approx1550/60\approx25{,}8 min.

Resposta

O tempo estimado é aproximadamente 1{,}55\times10^3 s, ou cerca de 26 min.

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