(3,0 pontos)Num espaço vetorial
com produto interno. Prove que se
e
são ortogonais e não nulos então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, num espaço vetorial
com produto interno, que dadas
e ortogonais, vale
Vamos usar a definição de cosseno em termos do produto interno e o teorema de Pitágoras para vetores ortogonais.
Passo 2
Lembrando a definição de cosseno do ângulo entre
e
:
Passo 3
Calculemos
. Como
,
Logo
e portanto
Passo 4
De modo análogo,
então
e
Passo 5
Somando as duas parcelas:
Passo 6
Como
, pelo Teorema de Pitágoras vale
Substituindo na soma acima obtemos
, concluindo a prova.