(3,0 pontos)Num espaço vetorial V com produto interno. Prove que se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais e não nulos então
\cos ^{2}(\vec{u}, \vec{u}-\vec{v})+\cos ^{2}(\vec{v}, \vec{u}-\vec{v})=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, num espaço vetorial V com produto interno, que dadas \vec{u},\vec{v}\neq\vec{0} e ortogonais, vale
\cos^{2}(\vec{u},\vec{u}-\vec{v}) \;+\;\cos^{2}(\vec{v},\vec{u}-\vec{v}) \;=\;1.
Vamos usar a definição de cosseno em termos do produto interno e o teorema de Pitágoras para vetores ortogonais.

Passo 2

Lembrando a definição de cosseno do ângulo entre \vec{a} e \vec{b}:
\cos(\vec{a},\vec{b}) \;=\;\frac{\langle \vec{a},\vec{b}\rangle}{\|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|}.

Passo 3

Calculemos \langle \vec{u},\,\vec{u}-\vec{v}\rangle. Como \langle \vec{u},\vec{v}\rangle=0,
\langle \vec{u},\vec{u}-\vec{v}\rangle =\langle \vec{u},\vec{u}\rangle-\langle \vec{u},\vec{v}\rangle =\|\vec{u}\|^2-0 =\|\vec{u}\|^2.
Logo
\cos(\vec{u},\vec{u}-\vec{v}) =\frac{\|\vec{u}\|^2}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{u}-\vec{v}\|} =\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}-\vec{v}\|},
e portanto
\cos^2(\vec{u},\vec{u}-\vec{v}) =\frac{\|\vec{u}\|^2}{\|\vec{u}-\vec{v}\|^2}.

Passo 4

De modo análogo,
\langle \vec{v},\vec{u}-\vec{v}\rangle =\langle \vec{v},\vec{u}\rangle-\langle \vec{v},\vec{v}\rangle =0-\|\vec{v}\|^2 =-\|\vec{v}\|^2,
então
\cos(\vec{v},\vec{u}-\vec{v}) =\frac{-\|\vec{v}\|^2}{\|\vec{v}\|\;\|\vec{u}-\vec{v}\|} =-\frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{u}-\vec{v}\|},
e
\cos^2(\vec{v},\vec{u}-\vec{v}) =\frac{\|\vec{v}\|^2}{\|\vec{u}-\vec{v}\|^2}.

Passo 5

Somando as duas parcelas:
\cos^2(\vec{u},\vec{u}-\vec{v}) +\cos^2(\vec{v},\vec{u}-\vec{v}) =\frac{\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2}{\|\vec{u}-\vec{v}\|^2}.

Passo 6

Como \vec{u}\perp\vec{v}, pelo Teorema de Pitágoras vale
\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 =\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2.
Substituindo na soma acima obtemos 1, concluindo a prova.

Resposta

\cos^{2}(\vec{u},\vec{u}-\vec{v})\;+\;\cos^{2}(\vec{v},\vec{u}-\vec{v}) \;=\;1.

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