Questão 10. Seja W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-2 y=0\right\}. Determinar uma base ortonormal para W.

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x - 2y = 0\},
que é o plano de dimensão 2 em \mathbb{R}^3. Para achar uma base ortonormal de W, vamos primeiro obter um conjunto gerador (base) simples e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt seguido de normalização.

Passo 2

Resolvendo x-2y=0 obtemos x=2y. Logo todo vetor em W pode ser escrito como
(x,y,z) = (2y,y,0) + (0,0,z) = y\,(2,1,0) + z\,(0,0,1).
Então \{v_1,v_2\} com
v_1 = (2,1,0), \quad v_2 = (0,0,1)
é uma base de W.

Passo 3

Vamos ortonormalizar \{v_1,v_2\}. Primeiro normalizamos v_1:
\|v_1\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5},
e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = \Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}},\,\frac{1}{\sqrt{5}},\,0\Bigr).
Agora verificamos que v_2 já é ortogonal a e_1:
v_2 \cdot e_1 = (0,0,1)\cdot\Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\Bigr) = 0.
Como \|v_2\|=1, basta tomar
e_2 = v_2 = (0,0,1).

Resposta

Uma base ortonormal de W é
\Bigl\{\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{5}},\,\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,0\bigr),\;(0,0,1)\Bigr\}.

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