Questão 12. Mostre que o operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por
T(x, y)=\left(\frac{1}{2} x-\frac{\sqrt{3}}{2} y, \frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{2} y\right)
é uma isometria nesse espaço euclidiano.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x,y)=\Bigl(\tfrac12x-\tfrac{\sqrt3}{2}y,\;\tfrac{\sqrt3}{2}x+\tfrac12y\Bigr)
e pede para mostrar que T é uma isometria no espaço euclidiano \mathbb{R}^2. Isto significa que precisamos provar que T preserva distâncias (ou, equivalente para operador linear, que preserva normas).

Passo 2

Lembrando que para um operador linear T vale
\|T(u)-T(v)\|=\|T(u-v)\|\;,
basta mostrar que
\|T(w)\|=\|w\|\quad\text{para todo }w\in\mathbb{R}^2.

Passo 3

Seja w=(x,y). Então
\|T(x,y)\|^2 =\Bigl(\tfrac12x-\tfrac{\sqrt3}{2}y\Bigr)^2 +\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x+\tfrac12y\Bigr)^2.
Expandindo cada termo:
\Bigl(\tfrac12x-\tfrac{\sqrt3}{2}y\Bigr)^2 =\tfrac14x^2 -\tfrac{\sqrt3}{2}x\,y +\tfrac34y^2,
\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x+\tfrac12y\Bigr)^2 =\tfrac34x^2 +\tfrac{\sqrt3}{2}x\,y +\tfrac14y^2.
Somando:
\|T(x,y)\|^2 =\bigl(\tfrac14+\tfrac34\bigr)x^2 +\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)x\,y +\bigl(\tfrac34+\tfrac14\bigr)y^2 =x^2+y^2.
Logo \|T(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}=\|(x,y)\|.

Passo 4

Como \|T(w)\|=\|w\| para todo w, temos
\|T(u)-T(v)\|=\|T(u-v)\|=\|u-v\|,
ou seja, T preserva distâncias. Portanto T é isometria em \mathbb{R}^2.

Resposta

O operador T é uma isometria em \mathbb{R}^2.

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