Questão 12. Mostre que o operador linear
definido por
é uma isometria nesse espaço euclidiano.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
e pede para mostrar que
é uma isometria no espaço euclidiano
. Isto significa que precisamos provar que
preserva distâncias (ou, equivalente para operador linear, que preserva normas).
Passo 2
Lembrando que para um operador linear
vale
basta mostrar que
Passo 3
Seja
. Então
Expandindo cada termo:
Somando:
Logo
.
Passo 4
Como
para todo
, temos
ou seja,
preserva distâncias. Portanto
é isometria em
.
Resposta
O operador
é uma isometria em
.