Os pontos (0,0) e (2,1) estão no gráfico de uma função quadrática f. 0 mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x=-14. Qual é o valor de f(1) ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função quadrática f que passa pelos pontos (0,0) e (2,1) e cujo valor mínimo ocorre em x = -\tfrac{1}{4}. O conteúdo aqui é a forma canônica de uma parábola e como usar os pontos dados para determinar seus parâmetros.

Passo 2

Para explorar o vértice em x = -\tfrac{1}{4}, escrevemos f(x) na forma canônica:
f(x)=a,(x+tfrac14)^2+k
onde o par (h,k) do vértice é (−\tfrac{1}{4},k).

Passo 3

Aplicamos o ponto (0,0) na forma canônica para relacionar k e a:
f(0)=al(0+tfrac14r)^2+k=a16+k=0
Daí segue
k=-a16

Passo 4

Agora usamos o ponto (2,1) para determinar a:
f(2)=al(2+tfrac14r)^2+k=a8116-a16=5a=1
Logo
a=15

Passo 5

Com a e k em mãos, calculamos k e depois f(1). Primeiro:
k=-1/516=-180
Em seguida, para x=1:
f(1)=15l(1+tfrac14r)^2-180=15cdot2516-180=2580-180=2480=310

Resposta

(\frac{3}{10})

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