(3,5 pontos) Explique os limites de integração e calcule a integral tripla integral tripla0 x d V, sendo que B é o sólido delimitado pelo cilindro x^2+y^2=25, pelo plano x+y+z=8 e pelo plano x y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaB x,dV, onde o sólido B é limitado pelo cilindro x^2+y^2=25, pelo plano oblíquo x+y+z=8 e pelo plano xy (ou seja, z=0). Isso faz parte de integrais triplas e uso de coordenadas cilíndricas; vamos precisar determinar os limites de integração e converter a integral.

Passo 2

Para aproveitar a simetria do cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dr,dtheta,dz
Nesse sistema, o cilindro x^2+y^2=25 vira 0<= r<=5, o ângulo percorre 0<=theta<=2pi, o plano z=0 z=0 como limite inferior, e o plano x+y+z=8 vira
0<= z<= 8 - r(costheta + sintheta)

Passo 3

A integral fica então
integral triplaB x,dV = integraltheta=0^2piintegralr=0^5integralz=0^8 - r(costheta+sintheta) (rcostheta),r,dz,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^5 r^2costheta,l[8 - r(costheta+sintheta)r],dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos primeiro em r:
integral0^5 r^2costhetal[8 - r(costheta+sintheta)r]dr = costhetaintegral0^5 l(8r^2 - r^3(costheta+sintheta)r)dr = costhetal(8cdot5^33 - (costheta+sintheta)5^44r) = 10003costheta - 6254l(cos^2theta + sinthetacosthetar)

Passo 5

Por fim, integramos em theta de 0 a 2pi. Observe que
integral0^2picostheta,dtheta=0, integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, integral0^2pisinthetacostheta,dtheta=0
Logo a única parcela não nula é
-6254integral0^2picos^2theta,dtheta = -6254,pi

Resposta

-\frac{625\pi}{4}

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