(3,5 pontos) Explique os limites de integração e calcule a integral tripla
, sendo que
é o sólido delimitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
, onde o sólido
é limitado pelo cilindro
, pelo plano oblíquo
e pelo plano
(ou seja,
). Isso faz parte de integrais triplas e uso de coordenadas cilíndricas; vamos precisar determinar os limites de integração e converter a integral.
Passo 2
Para aproveitar a simetria do cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
Nesse sistema, o cilindro
vira
, o ângulo percorre
, o plano
dá
como limite inferior, e o plano
vira
Passo 3
A integral fica então
Passo 4
Agora integramos primeiro em
:
Passo 5
Por fim, integramos em
de
a
. Observe que
Logo a única parcela não nula é
Logo a única parcela não nula é
Resposta
-\frac{625\pi}{4}