Utilizando as substituições indicadas, calcular as seguintes integrais.
integral0^ln 2 raize^x-1 d x, e^x-1=t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que temos aqui é uma integral definida de raize^x - 1 de x = 0 até x = ln 2. Vamos usar substituição, especificamente e^x - 1 = t^2. Para isso, precisamos entender um pouco de cálculo integral e como fazer mudanças de variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: e^x - 1 = t^2. Isso significa que vamos expressar tudo em termos de t para simplificar a integral.

Passo 3

Precisamos encontrar dx em termos de dt. Começamos derivando ambos os lados da substituição em relação a x:
ddx(e^x - 1) = ddx(t^2) e^x = 2t dtdx
Isolando dx, temos:
dx = 2te^x dt
Mas sabemos que e^x = t^2 + 1 (da substituição inicial). Então:
dx = 2tt^2 + 1 dt

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração para termos em t. Quando x = 0:
t^2 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0 Rightarrow t = 0
Quando x = ln 2:
t^2 = e^ln 2 - 1 = 2 - 1 = 1 Rightarrow t = 1
Então, os novos limites são de t = 0 até t = 1.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral0^ln 2 raize^x - 1 , dx = integral0^1 t cdot 2tt^2 + 1 dt
Simplificando a expressão dentro da integral:
integral0^1 2t^2t^2 + 1 dt

Passo 6

Vamos simplificar a fração 2t^2t^2 + 1. Podemos separar a fração:
2t^2t^2 + 1 = 2 - 2t^2 + 1
Então, a integral fica:
integral0^1 (2 - 2t^2 + 1) dt = 2integral0^1 dt - 2integral0^1 1t^2 + 1 dt

Passo 7

Integrando termo a termo:
  • A primeira integral é simples:
2integral0^1 dt = 2[t]0^1 = 2(1 - 0) = 2
  • A segunda integral é uma integral padrão:
2integral0^1 1t^2 + 1 dt = 2[arctan t]0^1 = 2(pi4 - 0) = pi2

Passo 8

Agora, juntando os resultados das duas integrais:
2 - pi2

Resposta

A integral vale 2 - dfracpi2.

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