Utilizando as substituições indicadas, calcular as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que temos aqui é uma integral definida de
de
até
. Vamos usar substituição, especificamente
. Para isso, precisamos entender um pouco de cálculo integral e como fazer mudanças de variável para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição indicada:
. Isso significa que vamos expressar tudo em termos de
para simplificar a integral.
Passo 3
Precisamos encontrar
em termos de
. Começamos derivando ambos os lados da substituição em relação a
:
Isolando
, temos:
Mas sabemos que
(da substituição inicial). Então:
Passo 4
Agora, vamos mudar os limites de integração para termos em
. Quando
:
Quando
:
Então, os novos limites são de
até
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos simplificar a fração
. Podemos separar a fração:
Então, a integral fica:
Passo 7
Integrando termo a termo:
- A primeira integral é simples:
- A segunda integral é uma integral padrão:
Passo 8
Agora, juntando os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral vale
.