(2,5 pontos) Faça um esboço da região e calcule a integral dupla , onde é a região delimitada pelas retas e .
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas retas , , e , e calcular a integral dupla . O conteúdo-chave é usar a mudança de variáveis , , pois nessas variáveis o domínio vira um retângulo.
Passo 2
Para fazer a mudança de variáveis, definimos
Invertendo, temos
O jacobiano dessa transformação é
logo lvert Jrvert=tfrac12 e dx,dy=tfrac12,du,dv.
Passo 3
Agora, o integrando atende (x+y)^2 = u^2 e sen^2(x-y)=sen^2(v), e o domínio em (u,v) é o retângulo
0 <= u <= pi, -pi <= v <= pi
Assim a integral vira
integral duplaR (x+y)^2,sen^2(x-y),dx,dy = integralu=0^piintegralv=-pi^pi u^2,sen^2(v),12,dv,du
Passo 4
Como as variáveis separam, escrevemos
12 integral0^piu^2,du times integral-pi^pisen^2(v),dv
Calculamos cada uma:
integral0^piu^2,du = pi^33, integral-pi^pisen^2(v),dv = 2integral0^pisen^2(v),dv = 2cdotpi2 = pi