(2,5 pontos) Faça um esboço da região R e calcule a integral dupla integral duplaR(x+y)^2 sen^2(x-y) d x d y, onde R é a região delimitada pelas retas x+y=0, x+y=pi, x-y=-pi e x-y=pi.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas retas x+y=0, x+y=pi, x-y=-pi e x-y=pi, e calcular a integral dupla integral duplaR (x+y)^2,sen^2(x-y),dx,dy. O conteúdo-chave é usar a mudança de variáveis u=x+y, v=x-y, pois nessas variáveis o domínio vira um retângulo.

Passo 2

Para fazer a mudança de variáveis, definimos
u = x + y, v = x - y
Invertendo, temos
x = u+v2, y = u-v2
O jacobiano dessa transformação é
J = det partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v = det1/2 & 1/2 1/2 & -1/2 = -tfrac12,
logo lvert Jrvert=tfrac12 e dx,dy=tfrac12,du,dv.

Passo 3

Agora, o integrando atende
(x+y)^2 = u^2 e sen^2(x-y)=sen^2(v), e o domínio em (u,v) é o retângulo
0 <= u <= pi, -pi <= v <= pi
Assim a integral vira
integral duplaR (x+y)^2,sen^2(x-y),dx,dy = integralu=0^piintegralv=-pi^pi u^2,sen^2(v),12,dv,du

Passo 4

Como as variáveis separam, escrevemos
12 integral0^piu^2,du times integral-pi^pisen^2(v),dv
Calculamos cada uma:
integral0^piu^2,du = pi^33, integral-pi^pisen^2(v),dv = 2integral0^pisen^2(v),dv = 2cdotpi2 = pi

Passo 5

Multiplicando tudo, obtemos
12 times pi^33 times pi = pi^46

Resposta

pi^46

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