Use uma integral dupla para determinar a área da região.
A região delimitada pela lemniseata r^2=4 cos 2 theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região planimétrica delimitada pela lemniscata de Bernoulli dada em coordenadas polares por
r^2 = 4cos(2theta)
O conteúdo envolvido é cálculo de área usando coordenadas polares, onde a área de uma região D é
integral duplaD dA = integraltheta=theta1^theta2 integralr=0^rmax(theta) r,dr,dtheta

Passo 2

Observamos que, para r real, precisamos de cos(2theta)>=0. Isso ocorre em dois intervalos de theta:
-tfracpi4<=theta<=tfracpi4 e tfrac3pi4<=theta<=tfrac5pi4
Cada um desses intervalos corresponde a uma “lóbulo” da lemniscata. Note que, por simetria, cada lóbulo tem a mesma área.

Passo 3

Escolhemos primeiro calcular a área de um lóbulo, digamos o que corresponde a
-tfracpi4<=theta<=tfracpi4
Nesse intervalo, a fronteira externa é
r = raiz4cos(2theta) = 2raizcos(2theta)
Logo a área de um lóbulo vem de
Alóbulo = integral-pi/4^pi/4 integral0^2raizcos(2theta) r,dr,dtheta ó

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em r:
integral0^2raizcos(2theta) r,dr = l[tfracr^22r]0^2raizcos(2theta) = tfrac12l(2raizcos(2theta)r)^2 = 2cos(2theta)
Portanto
Alóbulo = integral-pi/4^pi/4 2cos(2theta),dtheta ó

Passo 5

Calculamos agora a integral em theta:
integral-pi/4^pi/4 2cos(2theta),dtheta = 2l[tfracsin(2theta)2r]-pi/4^pi/4 = l[sin(2theta)r]-pi/4^pi/4 = sinl(tfracpi2r)-sinl(-tfracpi2r) = 1 - (-1) = 2
Assim, cada lóbulo tem área 2.

Passo 6

Como a lemniscata tem dois lobos idênticos, a área total da região é
Atotal = 2 times 2 = 4

Resposta

A área da região delimitada pela lemniscata r^2=4cos(2theta) é 4.

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