Use uma integral dupla para determinar a área da região.
A região delimitada pela lemniseata
A região delimitada pela lemniseata
Passo 1
O enunciado pede a área da região planimétrica delimitada pela lemniscata de Bernoulli dada em coordenadas polares por
O conteúdo envolvido é cálculo de área usando coordenadas polares, onde a área de uma região
é
Passo 2
Observamos que, para
real, precisamos de
. Isso ocorre em dois intervalos de
:
Cada um desses intervalos corresponde a uma “lóbulo” da lemniscata. Note que, por simetria, cada lóbulo tem a mesma área.
Passo 3
Escolhemos primeiro calcular a área de um lóbulo, digamos o que corresponde a
Nesse intervalo, a fronteira externa é
Logo a área de um lóbulo vem de
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em
:
Portanto
Passo 5
Calculamos agora a integral em
:
Assim, cada lóbulo tem área
.
Passo 6
Como a lemniscata tem dois lobos idênticos, a área total da região é
Resposta
A área da região delimitada pela lemniscata
é
.