Um spin interage com um campo magnético externo ao longo do eixo
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano
Concomitantemente à medida da energia do sistema, é possível medir os observáveis \hat{S}_{x} e \hat{S}^{2} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que temos um spin em um campo magnético externo ao longo do eixo \hat z. O Hamiltoniano do sistema é
\hat H = -\gamma B\,\hat S_z
onde \gamma é a razão giromagnética e B a intensidade do campo. A questão pede para verificar se, simultaneamente à medida da energia (isto é, de \hat H), podemos medir os observáveis \hat S_x e \hat S^2. Para isso, vamos usar o critério de compatibilidade de observáveis via comutadores.

Passo 2

Recordando que dois observáveis \hat A e \hat B podem ser medidos simultaneamente com precisão infinita se, e somente se,
[\hat A,\hat B]=0\,.
Vamos calcular os comutadores relevantes.
a) Primeiro, \hat S^2 = \hat S_x^2 + \hat S_y^2 + \hat S_z^2. Sabemos da álgebra de spin que cada componente satisfaz
[\hat S_i,\hat S_j]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}\,\hat S_k
onde \epsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita. Como \hat H é proporcional a \hat S_z, temos
[\hat H,\hat S^2] = -\gamma B\,[\hat S_z,\hat S^2] = -\gamma B\bigl([\hat S_z,\hat S_x^2]+[\hat S_z,\hat S_y^2]+[\hat S_z,\hat S_z^2]\bigr).
Mas usando propriedades de comutador e o fato de [\hat S_z,\hat S_z]=0, pode-se mostrar que cada termo se anula, de modo que
[\hat H,\hat S^2]=0.
b) Agora o comutador com \hat S_x:
[\hat H,\hat S_x] = -\gamma B\,[\hat S_z,\hat S_x] = -\gamma B\,(i\hbar\,\hat S_y) = -\,i\hbar\,\gamma B\,\hat S_y \neq 0.

Passo 3

Como [\hat H,\hat S^2]=0, o sistema admite autoestados comuns de \hat H e \hat S^2. Logo, podemos medir simultaneamente a energia e o valor de \hat S^2 com precisão.
Por outro lado, como [\hat H,\hat S_x]\neq0, não existem autoestados comuns de \hat H e \hat S_x. Portanto, a medida de \hat S_x perturbaria o valor da energia e vice-versa, não sendo possível medi-las concomitantemente com precisão.

Resposta

É possível medir simultaneamente a energia e \hat S^2, pois [\hat H,\hat S^2]=0.
Não é possível medir simultaneamente a energia e \hat S_x, pois [\hat H,\hat S_x]\neq0.

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