Um spin interage com um campo magnético externo ao longo do eixo
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano
Concomitantemente à medida da energia do sistema, é possível medir os observáveis
e
? Justifique.
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano
Concomitantemente à medida da energia do sistema, é possível medir os observáveis
Passo 1
O enunciado diz que temos um spin em um campo magnético externo ao longo do eixo
. O Hamiltoniano do sistema é
onde
é a razão giromagnética e
a intensidade do campo. A questão pede para verificar se, simultaneamente à medida da energia (isto é, de
), podemos medir os observáveis
e
. Para isso, vamos usar o critério de compatibilidade de observáveis via comutadores.
Passo 2
Recordando que dois observáveis
e
podem ser medidos simultaneamente com precisão infinita se, e somente se,
Vamos calcular os comutadores relevantes.
a) Primeiro,
. Sabemos da álgebra de spin que cada componente satisfaz
onde
é o símbolo de Levi-Civita. Como
é proporcional a
, temos
Mas usando propriedades de comutador e o fato de
, pode-se mostrar que cada termo se anula, de modo que
b) Agora o comutador com
:
Passo 3
Como
, o sistema admite autoestados comuns de
e
. Logo, podemos medir simultaneamente a energia e o valor de
com precisão.
Por outro lado, como , não existem autoestados comuns de
e
. Portanto, a medida de
perturbaria o valor da energia e vice-versa, não sendo possível medi-las concomitantemente com precisão.
Por outro lado, como
Resposta
É possível medir simultaneamente a energia e
, pois
.
Não é possível medir simultaneamente a energia e , pois
.
Não é possível medir simultaneamente a energia e