(2,0 pontos) A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por:
f(x)=l 2 x, se 0 <= x <= 1 0, caso contrário á
Calcule P(0.2 <= X <= 0.6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ para uma variável aleatória contínua $ X $. A função está definida como $ f(x) = 2x $ quando $ x $ está entre 0 e 1, e zero em qualquer outro lugar. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de $ X $ estar entre 0.2 e 0.6, ou seja, $ P(0.2 \leq X \leq 0.6) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais aplicados a funções densidade de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma variável aleatória contínua, a probabilidade de $ X $ estar em um intervalo específico é dada pela integral da função densidade $ f(x) $ sobre esse intervalo. Ou seja,
X
No nosso caso, $ a = 0.2 $ e $ b = 0.6 $, então precisamos calcular:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral. A integral de $ 2x $ em relação a $ x $ é:
2x
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 4

Aplicando os limites de integração, temos:
integral0.2^0.6 2x , dx = [ x^2 ]0.2^0.6 = (0.6)^2 - (0.2)^2
Calculando os quadrados:
(0.6)^2 = 0.36 e (0.2)^2 = 0.04
Então,
0.36 - 0.04 = 0.32

Resposta

A probabilidade $ P(0.2 \leq X \leq 0.6) $ é 0.32.

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