(2,0 pontos) A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
é dada por:
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ para uma variável aleatória contínua $ X $. A função está definida como $ f(x) = 2x $ quando $ x $ está entre 0 e 1, e zero em qualquer outro lugar. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de $ X $ estar entre 0.2 e 0.6, ou seja, $ P(0.2 \leq X \leq 0.6) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais aplicados a funções densidade de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma variável aleatória contínua, a probabilidade de $ X $ estar em um intervalo específico é dada pela integral da função densidade $ f(x) $ sobre esse intervalo. Ou seja,
No nosso caso, $ a = 0.2 $ e $ b = 0.6 $, então precisamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral. A integral de $ 2x $ em relação a $ x $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 4
Aplicando os limites de integração, temos:
Calculando os quadrados:
Então,
Resposta
A probabilidade $ P(0.2 \leq X \leq 0.6) $ é 0.32.