(2 pontos) A função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{c} a x, \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\ a, \text { se } 1<x \leq 2 \\\\ -a x+3 a, \text { se } 2<x \leq 3 \\\\ 0, \text { caso contrário } \end{array}\right.á
a. Determine a constante a.

Passo 1

O enunciado apresenta uma função densidade de probabilidade f(x) definida em três partes e pede para encontrar a constante a de modo que
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x = 1.
Vamos usar a propriedade fundamental de densidade contínua, isto é, a soma das áreas sob f(x) em todos os seus intervalos deve ser igual a 1.

Passo 2

Calcular a área em 0\le x\le1:
\int_{0}^{1}a\,x\,\mathrm{d}x = a\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x = a\biggl[\frac{x^2}{2}\biggr]_{0}^{1} = \frac{a}{2}.

Passo 3

Calcular a área em 1< x\le2:
\int_{1}^{2}a\,\mathrm{d}x = a\bigl[x\bigr]_{1}^{2} = a(2-1) = a.

Passo 4

Calcular a área em 2< x\le3:
\int_{2}^{3}(-a\,x + 3a)\,\mathrm{d}x = -a\int_{2}^{3}x\,\mathrm{d}x + 3a\int_{2}^{3}1\,\mathrm{d}x = -a\biggl[\frac{x^2}{2}\biggr]_{2}^{3} + 3a\bigl[x\bigr]_{2}^{3}
\phantom{=} -a\bigl(\tfrac{9}{2}-2\bigr) +3a(3-2) = -a\cdot\frac{5}{2} +3a = \frac{a}{2}.

Passo 5

Somando todas as áreas e igualando a 1:
\frac{a}{2} + a + \frac{a}{2} = 2a = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{1}{2}.

Resposta

a = \tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados